Question

Танка масою 3 т, який рухається з швидкістю 5 м/с, стріляють у напрямку руху під кутом 30° до горизонту. Якою стала швидкість руху танка, якщо маса снаряда 10 кг, а його швидкість в момент вильоту з ствола 100 м/с?

Answer 1

Ответ:

Запишемо закон збереження кількості руху до і після пострілу:

m₁v₁ = m₂v₂ + m₃v₃

де

m₁ = 3000 кг - маса танка

v₁ = 5 м/с - початкова швидкість танка

m₂ = 10 кг - маса снаряда

v₂ = 100 м/с - початкова швидкість снаряда

m₃ - маса танка та снаряду разом після пострілу

v₃ - шукана швидкість танка та снаряду разом після пострілу

Крім того, з відомого кута відліту снаряду можна визначити горизонтальну і вертикальну складові його швидкості:

v₂x = v₂cos30°

v₂y = v₂sin30°

Таким чином, зі складових швидкостей можна визначити швидкість танка після пострілу:

v₃x = v₁ + v₂xcos30°

v₃y = v₂ysin30°

Застосуємо закон збереження кількості руху і підставимо вирази для складових швидкостей:

m₁v₁ = (m₂ + m₃)v₃x

0 = (m₂ + m₃)v₃y

Розв'язавши ці рівняння відносно v₃, отримаємо:

v₃ = (m₁v₁ + m₂v₂cos30°) / (m₁ + m₂)

або

v₃ = (m₁v₁ + m₂v₂/2) / (m₁ + m₂)

Підставляємо числові значення:

v₃ = (3000 кг * 5 м/с + 10 кг * 100 м/с * cos30°) / (3000 кг + 10 кг)

або

v₃ = (15000 кг·м/с + 500 кг·м/с) / 3010 кг

v₃ ≈ 5,13 м/с

Отже, швидкість танка після пострілу становить близько 5,13 м/с.

Объяснение:

Answer 2

Calculation of Tank's Speed after Firing a Projectile

To calculate the speed of the tank after firing a projectile, we can use the principle of conservation of momentum. According to this principle, the total momentum before the firing is equal to the total momentum after the firing.

The momentum of an object is given by the product of its mass and velocity. In this case, the tank's momentum before firing is the product of its mass and velocity, and the momentum after firing is the sum of the tank's momentum and the momentum of the projectile.

Let's calculate the speed of the tank after firing the projectile.

Given: - Mass of the tank (m1) = 3 t = 3000 kg - Initial speed of the tank (v1) = 5 m/s - Mass of the projectile (m2) = 10 kg - Initial speed of the projectile (v2) = 100 m/s - Angle between the direction of tank's motion and the direction of firing (θ) = 30°

Calculation Steps:

1. Calculate the x-component of the tank's momentum before firing: - Momentum of the tank in the x-direction (p1x) = mass of the tank (m1) * velocity of the tank (v1) * cos(θ)

2. Calculate the y-component of the tank's momentum before firing: - Momentum of the tank in the y-direction (p1y) = mass of the tank (m1) * velocity of the tank (v1) * sin(θ)

3. Calculate the x-component of the projectile's momentum: - Momentum of the projectile in the x-direction (p2x) = mass of the projectile (m2) * velocity of the projectile (v2) * cos(0°)

4. Calculate the y-component of the projectile's momentum: - Momentum of the projectile in the y-direction (p2y) = mass of the projectile (m2) * velocity of the projectile (v2) * sin(0°)

5. Calculate the total x-component of momentum after firing: - Total momentum in the x-direction (ptotalx) = p1x + p2x

6. Calculate the total y-component of momentum after firing: - Total momentum in the y-direction (ptotaly) = p1y + p2y

7. Calculate the total momentum after firing: - Total momentum after firing (ptotal) = sqrt(ptotalx^2 + ptotaly^2)

8. Calculate the speed of the tank after firing: - Speed of the tank after firing (vfinal) = ptotal / mass of the tank (m1)

Let's plug in the values and calculate the speed of the tank after firing the projectile.

Calculation:

Given values: - Mass of the tank (m1) = 3000 kg - Initial speed of the tank (v1) = 5 m/s - Mass of the projectile (m2) = 10 kg - Initial speed of the projectile (v2) = 100 m/s - Angle between the direction of tank's motion and the direction of firing (θ) = 30°

Using the above calculation steps, we find:

1. Calculate the x-component of the tank's momentum before firing: - p1x = m1 * v1 * cos(θ) = 3000 kg * 5 m/s * cos(30°) = 3000 kg * 5 m/s * 0.866 = 12990 kg·m/s

2. Calculate the y-component of the tank's momentum before firing: - p1y = m1 * v1 * sin(θ) = 3000 kg * 5 m/s * sin(30°) = 3000 kg * 5 m/s * 0.5 = 7500 kg·m/s

3. Calculate the x-component of the projectile's momentum: - p2x = m2 * v2 * cos(0°) = 10 kg * 100 m/s * cos(0°) = 10 kg * 100 m/s * 1 = 1000 kg·m/s

4. Calculate the y-component of the projectile's momentum: - p2y = m2 * v2 * sin(0°) = 10 kg * 100 m/s * sin(0°) = 10 kg * 100 m/s * 0 = 0 kg·m/s

5. Calculate the total x-component of momentum after firing: - ptotalx = p1x + p2x = 12990 kg·m/s + 1000 kg·m/s = 13990 kg·m/s

6. Calculate the total y-component of momentum after firing: - ptotaly = p1y + p2y = 7500 kg·m/s + 0 kg·m/s = 7500 kg·m/s

7. Calculate the total momentum after firing: - ptotal = sqrt(ptotalx^2 + ptotaly^2) = sqrt((13990 kg·m/s)^2 + (7500 kg·m/s)^2) = sqrt(195216100 + 56250000) = sqrt(251466100) = 15857.1 kg·m/s

8. Calculate the speed of the tank after firing: - vfinal = ptotal / m1 = 15857.1 kg·m/s / 3000 kg = 5.2857 m/s

Therefore, the speed of the tank after firing the projectile is approximately 5.29 m/s.

Please note that this calculation assumes an idealized scenario without considering factors such as air resistance, friction, and recoil.

Answer 3

Для вирішення цього завдання можна скористатися законами збереження енергії та руху. Спочатку розглянемо збереження енергії.

Закон збереження енергії для системи до та після пострілу можна виразити так:

\[ \text{Кінетична енергія до пострілу} + \text{Потенціальна енергія до пострілу} = \text{Кінетична енергія після пострілу} + \text{Потенціальна енергія після пострілу} + \text{Кінетична енергія снаряда} \]

Кінетична енергія танка перед пострілом:

\[ K_1 = \frac{1}{2} m_t v_t^2 \]

Потенціальна енергія танка перед пострілом:

\[ U_1 = m_t g h \]

Кінетична енергія танка після пострілу:

\[ K_2 = \frac{1}{2} m_t v_t'^2 \]

Потенціальна енергія танка після пострілу:

\[ U_2 = m_t g h' \]

Кінетична енергія снаряда:

\[ K_{\text{снаряд}} = \frac{1}{2} m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд}}^2 \]

Тепер можемо записати рівняння збереження енергії:

\[ K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + K_{\text{снаряд}} \]

Знаючи, що потенціальна енергія залежить від висоти \( h \) і \( h' \), а також враховуючи, що танк рухається під кутом 30°, ми можемо виразити висоти через відомі величини:

\[ h = \frac{1}{2} v_t^2 \sin^2(30°) \] \[ h' = \frac{1}{2} v_t'^2 \sin^2(30°) \]

Підставимо ці вирази у рівняння збереження енергії і врахуємо, що \( U_1 = U_2 \) (оскільки потенціальна енергія залежить тільки від висоти):

\[ \frac{1}{2} m_t v_t^2 + m_t g \left(\frac{1}{2} v_t^2 \sin^2(30°)\right) = \frac{1}{2} m_t v_t'^2 + m_t g \left(\frac{1}{2} v_t'^2 \sin^2(30°)\right) + \frac{1}{2} m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд}}^2 \]

Тепер виразимо \( v_t' \) (швидкість танка після пострілу):

\[ v_t' = \sqrt{\frac{m_t v_t^2 + m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд}}^2}{m_t + m_{\text{снаряд}}}} \]

Підставимо відомі значення:

\[ v_t' = \sqrt{\frac{(3 \ \text{т}) \cdot (5 \ \text{м/с})^2 + (10 \ \text{кг}) \cdot (100 \ \text{м/с})^2}{3 \ \text{т} + 10 \ \text{кг}}} \]

Обчисліть це вираз та отримаєте швидкість танка після пострілу.