Question

Во сколько раз объём кубика из свинца должен быть меньше, чем объём кубика из железа, чтобы давление, оказываемое ими, было одинаковым? Ответ округли до сотых.

Answer 1

Ответ:

Объём кубика из свинца меньше, чем объём кубика из железа в 2,99 раз.

Объяснение:

ρ₁ = 11,34 г/см³ - плотность свинца

ρ₂ = 7,87 г/см³ - плотность железа

р₁ = р₂

-----------------------

V₂/V₁ - ?

----------------------

Давление вычисляется по формуле:

р = mg/S

Масса кубика

m = ρ · V

Объём кубика

V = a³

Площадь опоры

S = a²

здесь - а - длина ребра кубика

Таким образом, давление

$p = \dfrac{\rho \cdot a^3\cdot g}{a^2}$

и окончательно

p =  ρ · g · a

При равенстве давлений получаем

ρ₁ · g · a₁ = ρ₂ · g · a₂

и отношение длин рёбер

$\dfrac{a_2}{a_1 } =\dfrac{\rho_1}{\rho_2} =\dfrac{11.34}{7.87} \approx 1.44091$

а отношение объёмов

1,44091³ = 2,99168 ≈ 2,99

Answer 2

Давление, оказываемое твёрдым телом, зависит не только от его объема, но также от его массы. Для того чтобы давление, создаваемое кубиками из свинца и железа, было одинаковым, необходимо, чтобы их массы были пропорциональны их объемам.

Пусть \( V_{\text{Fe}} \) и \( V_{\text{Pb}} \) - объемы кубиков из железа и свинца соответственно. Тогда для одинакового давления справедливо:

\[ P_{\text{Fe}} = P_{\text{Pb}} \]

Давление можно выразить как отношение силы к площади:

\[ P = \frac{F}{A} \]

Сила же связана с массой \( m \) и ускорением свободного падения \( g \) следующим образом:

\[ F = m \cdot g \]

Таким образом, для двух кубиков с одинаковым давлением:

\[ \frac{m_{\text{Fe}} \cdot g}{A_{\text{Fe}}} = \frac{m_{\text{Pb}} \cdot g}{A_{\text{Pb}}} \]

Отметим, что площади \( A_{\text{Fe}} \) и \( A_{\text{Pb}} \) у обоих кубиков одинаковы (предполагаем, что оба кубика имеют одинаковую форму и размеры). Поэтому их можно сократить:

\[ m_{\text{Fe}} = m_{\text{Pb}} \]

Теперь, если \( \rho_{\text{Fe}} \) и \( \rho_{\text{Pb}} \) - плотности железа и свинца соответственно, и \( V_{\text{Fe}} \) и \( V_{\text{Pb}} \) - объемы кубиков, то массы связаны с плотностью и объемом следующим образом:

\[ m_{\text{Fe}} = \rho_{\text{Fe}} \cdot V_{\text{Fe}} \] \[ m_{\text{Pb}} = \rho_{\text{Pb}} \cdot V_{\text{Pb}} \]

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ \rho_{\text{Fe}} \cdot V_{\text{Fe}} = \rho_{\text{Pb}} \cdot V_{\text{Pb}} \]

Теперь мы можем выразить отношение объемов:

\[ \frac{V_{\text{Fe}}}{V_{\text{Pb}}} = \frac{\rho_{\text{Pb}}}{\rho_{\text{Fe}}} \]

Подставим числовые значения для плотности свинца (\( \rho_{\text{Pb}} \)) и железа (\( \rho_{\text{Fe}} \)), чтобы получить ответ:

\[ \frac{V_{\text{Fe}}}{V_{\text{Pb}}} = \frac{7.87}{11.34} \approx 0.694 \]

Таким образом, объем кубика из свинца должен быть примерно на 30.6% больше, чем объем кубика из железа, чтобы давление, оказываемое ими, было одинаковым.