Question

На скільки відсотків зменшиться кінетична енергія системи після абсолютно непружного зіткнення двох куль, що рухались назустріч одна одній з рівними швидкостями, якщо маси куль відрізняються у 4 рази. Кульки вважайте матеріальними точками.

Answer 1

На сколько процентов уменьшится кинетическая энергия системы после абсолютно неупругого столкновение двух шаров, двигавшихся навстречу друг другу с равными скоростями, если массы шаров отличаются в 4 раза. Шарики считайте материальными точками.

Answer 2

Кінетична енергія системи до зіткнення складається з кінетичної енергії першої кульки та кінетичної енергії другої кульки.

Позначимо масу першої кульки як m₁ і масу другої кульки як m₂. За умовою задачі, маси кульок відрізняються у 4 рази, тобто m₁ = m і m₂ = 4m.

За законом збереження імпульсу відносно центра мас системи, після абсолютно непружного зіткнення: м₁v₁ + м₂v₂ = (м₁ + м₂)V,

де v₁ та v₂ - початкові швидкості кульок до зіткнення, V - швидкість системи після зіткнення.

Отже, м₁v₁ + м₂v₂ = (м₁ + м₂)V, m₁v₁ + 4m₂⋅(-v₂) = m₁V + m₂V, m₁v₁ - 4m₂v₂ = (m₁ + m₂)V.

Оскільки кульки рухаються назустріч одна одній з рівними швидкостями, то v₁ = -v₂, тобто:

m₁v₁ - 4m₂v₂ = (m₁ + m₂)V, -m₁v₁ - 4m₂v₁ = (m₁ + m₂)V, -5m₁v₁ = (m₁ + m₂)V, 5v₁ = V.

Тобто, швидкість системи після зіткнення V дорівнює п'ятичастинному значенню початкової швидкості однієї з кульок.

Значення кінетичної енергії системи після зіткнення Е позначимо як Е'. Загальна кінетична енергія системи до зіткнення складається з кінетичної енергії першої кульки (Е₁) та кінетичної енергії другої кульки (Е₂):

Е = Е₁ + Е₂.

Кінетична енергія першої кульки до зіткнення Е₁ дорівнює:

Е₁ = (1/2)m₁v₁².

Кінетична енергія другої кульки до зіткнення Е₂ дорівнює:

Е₂ = (1/2)m₂v₂² = (1/2)4m₁(-v₁)² = 4(1/2)m₁v₁² = 2m₁v₁².

Отже, загальна кінетична енергія системи до зіткнення Е дорівнює:

Е = Е₁ + Е₂ = (1/2)m₁v₁² + 2m₁v₁² = (1/2 + 2)m₁v₁² = (5/2)m₁v₁².

Кінетична енергія системи після зіткнення Е' дорівнює:

Е' = (1/2)(m₁ + m₂)V² = (1/2)(m₁ + 4m₂)(5v₁)² = (1/2)(m₁ + 4(4m₁))(5v₁)² = (1/2)(m₁ + 16m₁)(5v₁)² = (17/2)m₁(5v₁)² = (17/2)5²m₁v₁² = 17(25/2)m₁v₁² = 212.5m₁v₁².

Відсоток зменшення кінетичної енергії системи після зіткнення розраховується за формулою:

Відсоток зменшення = ((Е - Е')/Е) * 100% = ((5/2)m₁v₁² - 212.5m₁v₁²)/((5/2)m₁v₁²) * 100% = (1 - 212.5/5) * 100% = (1 - 42.5) * 100% = 57.5 * 100% = 5750%.

Таким чином, кінетична енергія системи зменшиться на 5750% після абсолютно непружного зіткнення двох куль, якщо маси куль відрізняються у 4 рази.