Question

В циліндрі, площа основи якого дорівнює 100 см2 , знаходиться повітря при температурі 285 К. На висоті 38 см від основи циліндра розміщено поршень, на якому знаходиться гиря масою 100 кг. Яку роботу повинно здійснити повітря, якщо його нагріти до 300 К? Атмосферний тиск нормальний. Тертям і масою поршня знехтувати

Answer 1

Для вирішення цього завдання нам слід визначити роботу, яку виконає газ при нагріванні з початкової температури T₁ до кінцевої температури T₂.

Робота, виконана газом під час нагрівання, може бути знайдена за допомогою виразу:

\[ W = P \cdot \Delta V \]

де \( P \) - тиск, \( \Delta V \) - зміна об'єму газу.

Для ідеального газу в процесі, що відбувається при сталому тиску, робота може бути визначена як:

\[ W = P \cdot \Delta V = nR(T_2 - T_1) \]

де \( n \) - кількість молекул газу, \( R \) - універсальна газова стала.

З рівняння ідеального газу \( PV = nRT \) ми можемо виразити об'єм \( V \) як \( V = \frac{{nRT}}{P} \). Підставимо це значення для \( \Delta V \):

\[ W = P \cdot \Delta V = P \left( \frac{{nRT_2}}{P} - \frac{{nRT_1}}{P} \right) = nR(T_2 - T_1) \]

Тепер можемо виразити роботу через початкову і кінцеву температури:

\[ W = nR \Delta T \]

де \( \Delta T = T_2 - T_1 \).

Ваше завдання вимагає врахування об'єму циліндра та відстані, на якій розташовано поршень. Об'єм циліндра може бути знайдений за допомогою формули \( V = S \cdot h \), де \( S \) - площа основи, \( h \) - висота циліндра.

Отже, робота може бути визначена як:

\[ W = P \cdot \Delta V = P \cdot S \cdot \Delta h \]

де \( \Delta h \) - зміна висоти поршня. Також, слід врахувати, що робота може бути виконана проти сили тяжіння гирі, яка діє вниз.

\[ W = P \cdot S \cdot \Delta h + mgh \]

де \( m \) - маса гирі, \( g \) - прискорення вільного падіння.

Тепер можемо вставити вираз для роботи в формулу ідеального газу та підставити відомі значення:

\[ W = nR \Delta T = \frac{PV}{RT} \Delta T \]

\[ W = \frac{S \cdot \Delta h \cdot P + mgh}{RT} \Delta T \]

Тут ми врахували об'єм циліндра \( V = S \cdot h \), зміну висоти поршня \( \Delta h \) та силу тяжіння гирі \( mgh \).

Тепер можемо підставити відомі значення та обчислити роботу. За відомістю, атмосферний тиск стандартний (нормальний), тобто 101325 Па, універсальна газова стала \( R \) близько 8.314 Дж/(моль·К).