Question

В дне сосуда проделано отверстие сечением S1. В сосуд налита вода до высоты h, и уровень ее поддерживают постоянным. Определите площадь поперечноно сечения струи, вытекающей из дна сосуда на расстоянии 3h от этого дна. Считать, что струя не разбрызгивается, а вода — идеальная несжимаемая жидкость.

Answer 1

Ответ:

S2 = 0.5*S1

Объяснение:

По формуле Торричелли скорость воды в отверсии S1 равна V1 = $\sqrt{2gh}$. Падая струя по действием силы тяжести набирает скорость. Найдём скорость струи на расстоянии 3h от отверстия S1:

$3h=\frac{V2^{2}- V1^{2}}{2g} \\V2^{2}=6gh + V1^{2} = 8gh\\\\V2 = \sqrt{8gh}$

Массы, проходящие через S1 и S2 в единицу времени, равны, т.е. равны потоки:

Q1=Q2 = S1*v1 = S2*v2

Откуда S2 = S1*V1/V2 = S1 * √2gh / √8gh = 0.5*S1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение Бернулли, которое описывает движение идеальной несжимаемой жидкости в трубках.

Уравнение Бернулли имеет вид: P + ½ρv² + ρgh = const,

где P - давление жидкости, ρ - плотность жидкости, v - скорость движения жидкости, g - ускорение свободного падения, h - высота уровня жидкости.

Используя это уравнение, мы можем найти скорость вытекающей струи воды из отверстия в дне сосуда на высоте 3h от дна. Пусть v1 - скорость вытекающей струи.

Уровень воды находится на высоте h, поэтому P1 = P2, где P1 - давление на дне сосуда, P2 - давление на расстоянии 3h ниже дна. Также, поскольку уровень жидкости поддерживается постоянным, то h + 3h = 4h.

Используя эти данные, мы можем записать уравнение Бернулли для точек 1 (на дне сосуда) и 2 (на расстоянии 3h ниже дна) следующим образом:

P1 + ½ρv1² + ρgh = P2 + ½ρv2² + ρg(4h).

Так как P1 = P2 и h + 3h = 4h, уравнение можно упростить:

½ρv1² + ρgh = ½ρv2² + ρg(4h).

Упрощая дальше:

½ρv1² = ½ρv2² + 3ρgh.

Также, мы знаем, что скорость на расстоянии 3h от дна равна 0 (так как струя не разбрызгивается), поэтому v2 = 0.

Подставляя это значение в уравнение, мы получаем:

½ρv1² = 3ρgh.

Плотность воды сокращается, а также делим обе части уравнения на ρ/2:

v1² = 6gh.

Отсюда находим скорость вытекающей струи:

v1 = √(6gh).

Теперь мы можем найти площадь поперечного сечения струи. Пусть S1 - площадь отверстия в дне сосуда, S2 - площадь поперечного сечения струи на расстоянии 3h ниже дна.

Используя уравнение непрерывности, мы можем заметить, что объем жидкости, проходящий через отверстие в дне сосуда за одну секунду, равняется объему жидкости, проходящему через поперечное сечение струи за одну секунду:

v1S1 = v2S2.

Подставляем значение v2 = 0 и v1 = √(6gh):

√(6gh)S1 = 0S2.

Очевидно, что площадь поперечного сечения струи S2 равна нулю, так как скорость вытекающей жидкости на этом участке равна нулю. Это означает, что струя сужается настолько, пока не исчезает на расстоянии 3h от дна.

Таким образом, площадь поперечного сечения струи равна нулю.