Question

Через какое время в долях периода энергия электрического поля колебательного контура стант в 3 раза больше, чем магнитного? Решите эту задачу кто сможет пож

Answer 1

Будем полагать что в начале вся энергия запасена в магнитном поле, а электрическая энергия равна нулю (максимальный ток, нулевой заряд). Тогда, с учетом того, что эти энергии пропорциональны квадрату тока и заряда соответственно и имеют одинаковую амплитуду, запишем

$W_m(t) = W_0\cos^2\omega t\\W_e(t) = W_0\sin^2\omega t$

Наша задача, найти минимальное $t > 0$, при котором

$\displaystyle 3W_0\cos^2\omega t = W_0\sin^2\omega t\\\tan^2\omega t = 3\\\tan\omega t = \sqrt{3}\\\omega t = \pi/3\\t = \frac{\pi}{3\omega} = \frac{\pi}{3\cdot 2\pi/T} = T/6$

Ответ - через шестую часть периода.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться соотношением между электрической и магнитной энергией в колебательном контуре. Энергия электрического поля (Eэ) и энергия магнитного поля (Eм) в колебательном контуре связаны следующим образом: Eэ = Eм Если в какой-то момент времени энергия электрического поля становится в 3 раза больше, чем энергия магнитного поля, то мы можем записать это как: Eэ = 3 * Eм Теперь давайте рассмотрим, как энергия электрического и магнитного полей меняются со временем в колебательном контуре. Энергия электрического поля в таком контуре пропорциональна квадрату заряда (Q) на конденсаторе и напряжению (U) на нем: Eэ = (1/2) * Q * U А энергия магнитного поля пропорциональна квадрату силы тока (I) в катушке индуктивности (L): Eм = (1/2) * L * I^2 Если обозначить момент времени, когда энергия электрического поля становится в 3 раза больше, чем энергия магнитного поля, как t, то мы можем записать соотношение между ними: (1/2) * Q * U = 3 * (1/2) * L * I^2 Упростим уравнение: Q * U = 3 * L * I^2 Теперь, используя связь между зарядом, напряжением и током (Q = C * U), где C - ёмкость конденсатора, мы можем переписать уравнение: C * U^2 = 3 * L * I^2 Поскольку контур колеблется, то можно использовать соотношение между индуктивностью, ёмкостью и частотой колебаний (ω): L = (1/ω^2) * C Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом: C * U^2 = 3 * (1/ω^2) * C * I^2 Теперь, давайте учтем, что сила тока (I) в колебательном контуре меняется с течением времени вида: I = I0 * sin(ωt) Где I0 - амплитуда тока, ω - угловая частота колебаний, t - время. Подставив это выражение для тока в уравнение, получим: C * U^2 = 3 * (1/ω^2) * C * (I0 * sin(ωt))^2 Теперь мы видим, что C сокращается с обеих сторон уравнения: U^2 = 3 * (1/ω^2) * (I0 * sin(ωt))^2 Извлекая корень, получим: U = sqrt(3/ω^2) * I0 * sin(ωt) Теперь, когда у нас есть выражение для напряжения (U) как функции от времени, мы можем найти момент времени (t), когда энергия электрического поля в 3 раза больше, чем энергия магнитного поля: Eэ/Eм = U^2 / (1/2 * L * I^2) = 3 Подставляем выражение для U: (U^2) / (1/2 * L * I^2) = 3 (sqrt(3/ω^2) * I0 * sin(ωt))^2 / (1/2 * L * I0^2 * sin^2(ωt)) = 3 Упрощаем уравнение: 3/ω^2 = 2/L Теперь выразим ω: ω = sqrt(2/L) * sqrt(3) Итак, мы нашли значение угловой частоты ω, которое определяет момент времени, когда энергия электрического поля в 3 раза больше, чем энергия магнитного поля. Время t, в долях от периода, можно найти, используя следующее соотношение: t = (2π) / ω t = (2π) / (sqrt(2/L) * sqrt(3)) Таким образом, время t, в долях периода колебаний, при котором энергия электрического поля в 3 раза больше, чем энергия магнитного поля, определяется этим уравнением.