Question

Дві кульки, що мають маси відповідно m1=100 г і m2=300 г підвішені на однакових нитках довжиною l=50 см кожна. Першу кульку відхиляють від положення рівноваги на кут α=90° і відпускають. На яку висоту підніметься друга кулька після абсолютно пружного удару?

Answer 1

Відповідь:

16.7 см

Аналіз завдання: (для себе)

Якщо кульки однакової маси то друга відхилиться на таку саму відстань на яку була піднята перша.

Якщо друга кулька важча за першу у три рази, то вона має піднятися на висоту що в 3 рази менша за ту з якої відпускають першу.

Дано:

$h_{2}$ - ?

m1=0.1 кг

m2=0.3 кг

l=0.5 м

g = 10 $\frac{m}{c^{2} }$

Розв'язання:

$E_{p1} = m*g*l(1-cos \alpha ) = m*g*l(1-0) = mgl$, дійсно висота від положення рівноваги дорівнює довжині нитки.

Отже, $E_{p1}$ =0.1 кг * 10 $\frac{m}{c^{2} }$ * 0.5 м = 0.5 Дж - максимальна потенціальна енергія коли кульку тільки відпускають.

= E_{k2} = E_{p2}

За законом збереження енергії вся потенціальна енергія перетворюється на кінетичну. Отже, перед коли кульки мають зіткнутися потенціальна енергія дорівнює нулю, а кінетична дорівнює 0.5 Дж.

$E_{p1} = E_{k1}$

Оскільки перша кулька після зіткнення не буде рухатися, то це означає що вона передала всю енергію для другої кульки .

$E_{k1} = E_{k2}$

$E_{p2} =$  0.5 Дж, коли друга кулька піднялася на найвищу висоту, вся $E_{k2}$  перейшла в потенціальну.

$E_{p2}=m_{2} *g*h_{2}$

$h_{2} = \frac{E_{p2} }{m_{2} *g} = \frac{0.5}{0.3*10} = 1/6 m$ ≈ 16.7 cm

Бачимо що кулька відхилилася на 17 см, і це дійсно менше 50 см тому що m2 > m1

Answer 2

Дані:
m1 = 100 г (маса першої кульки)
m2 = 300 г (маса другої кульки)
l = 50 см (довжина нитки)

На початку обидві кульки знаходяться на однаковій висоті (рівновага), тому потенційна енергія гравітаційного поля для обох кульок дорівнює нулю.

Першу кульку відхиляють на кут α = 90°. Після відпускання кульки, вона рухатиметься з певною швидкістю вниз. Так як система абсолютно пружна, коли кулька досягає найвищої точки свого руху, вона знову повернеться до початкового положення з такою самою швидкістю, але протилежним напрямком. В цей момент друга кулька почне підніматися.

Запишемо рівняння збереження енергії:
m1 * g * h1 + m2 * g * h2 = m1 * g * l + m2 * g * l

Де:
g - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с^2)
h1 - висота, на яку піднялася перша кулька
h2 - висота, на яку підніметься друга кулька

Так як початково обидві кульки знаходяться на однаковій висоті, h1 дорівнює нулю. Враховуємо це:
m2 * g * h2 = m1 * g * l + m2 * g * l

Підставляючи дані в рівняння:
0.3 кг * 9.8 м/с^2 * h2 = 0.1 кг * 9.8 м/с^2 * 0.5 м + 0.3 кг * 9.8 м/с^2 * 0.5 м

Після спрощення отримуємо:
0.3 кг * 9.8 м/с^2 * h2 = 0.1 кг * 9.8 м/с^2 * 0.5 м + 0.3 кг * 9.8 м/с^2 * 0.5 м
0.3 кг * 9.8 м/с^2 * h2 = 0.58 Дж

Розв'язуємо рівняння для h2:
h2 = 0.58 Дж / (0.3 кг * 9.8 м/с^2)
h2 = 0.58 Дж / 2.94 Дж/кг
h2 ≈ 0.20 м

Таким чином, друга кулька підніметься на висоту близько 0.20 м після абсолютно пружного удару.