Question

Радиус малой планеты в 32 раза меньше радиуса Земли, а ускорение свободного падения у поверхности этой планеты в 50 раз меньше, чем у поверхности Земли. Найдите первую космическую скорость для этой малой планеты. Радиус Земли равен 6 400 км

Answer 1

Первая космическая U для Земли находится по формуле $\sqrt{g*R}$

Тогда для малой планеты $U=\sqrt{g/50 *R/32}$

Подставляем числа и получаем 200м/с

Answer 2

Для решения задачи мы воспользуемся формулой для первой космической скорости:

v = sqrt((G * M) / r),

где v - первая космическая скорость, G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - радиус планеты.

Сначала найдем массу планеты с помощью радиуса Земли и радиуса малой планеты.

Радиус Земли = 6 400 км = 6 400 000 м, Радиус малой планеты = 6 400 000 м / 32 = 200 000 м.

Теперь посчитаем массу планеты:

M = (4/3) * π * r^3 * p, где p - плотность планеты.

Плотность планеты неизвестна, будем обозначать ее за p.

M_Земли = (4/3) * π * (6 400 000 м)^3 * p, M_малой планеты = (4/3) * π * (200 000 м)^3 * p.

После деления этих двух уравнений, оставив в формуле только массу планеты и радиус планеты, получим:

M_малой планеты / M_Земли = (200 000 м / 6 400 000 м) ^ 3.

(200 000 м / 6 400 000 м) ^ 3 ≈ 0.01.

Теперь заметим, что ускорение свободного падения на поверхности планеты пропорционально ее массе и обратно пропорционально квадрату ее радиуса:

g_малой планеты / g_Земли = M_малой планеты / M_Земли * (r_Земли / r_малой планеты)^2.

g_малой планеты / g_Земли = 0.01 * (6 400 000 м / 200 000 м)^2, g_малой планеты / g_Земли = 0.01 * 32^2 = 0.01 * 1024 = 10.24.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет примерно 9.8 м/с^2, поэтому ускорение свободного падения на поверхности малой планеты будет:

g_малой планеты ≈ 9.8 м/с^2 / 10.24 ≈ 0.96 м/с^2.

Теперь мы можем найти первую космическую скорость для малой планеты:

v = sqrt((G * M_малой планеты) / r_малой планеты), v = sqrt((6.674 * 10^-11 * M_малой планеты) / r_малой планеты).

Подставим значения:

v = sqrt((6.674 * 10^-11 * (4/3) * π * (200 000 м)^3 * p) / 200 000 м).

Поскольку плотность планеты p неизвестна, ответ можно представить в виде функции от p:

v = sqrt((6.674 * 10^-11 * (4/3) * π * (200 000 м)^3 * p) / 200 000 м).

Таким образом, первая космическая скорость для малой планеты будет зависеть от плотности этой планеты.