Question

вектор a+b перпендикулярен вектору a−b. Докажите, что модули векторов a и b равны другу другу: a=b. Приведите пример таких векторов.

Answer 1

по условию (а+b)(a-b)*сosa=0 так как соs90=0

а²-b²=0 a²=b² значит a=b ( что и требовалось доказать

легко проверить что эти два вектора расположены под углом 90 градусов друг к другу и равны

Answer 2

Пусть вектор a имеет координаты (x1, y1, z1), а вектор b имеет координаты (x2, y2, z2).

Так как вектор a + b перпендикулярен вектору a - b, то их скалярное произведение равно нулю:

(a + b) * (a - b) = 0

Раскроем скобки:

(a + b) * (a - b) = a * a - a * b + b * a - b * b

Так как a * b = b * a (скалярное произведение коммутативно), и a * a и b * b являются скалярами, то a * b + b * a = 2 * (a * b)

Таким образом, уравнение примет вид:

2 * (a * b) = a * a - b * b

a * a и b * b являются скалярными квадратами длин векторов a и b соответственно, то есть a * a = |a|^2 и b * b = |b|^2.

Тогда получим:

2 * (a * b) = |a|^2 - |b|^2

Так как вектор a + b перпендикулярен вектору a - b, то их скалярное произведение равно нулю:

2 * (a * b) = 0

Таким образом, уравнение примет вид:

0 = |a|^2 - |b|^2

|a|^2 = |b|^2

Если модули векторов a и b равны друг другу, то a = b или a = -b.

Примеры векторов, удовлетворяющих условиям задачи:

1) a = (1, 1, 0), b = (1, 1, 0) |a| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2) |b| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2) |a| = |b|

2) a = (1, 2, 3), b = (-1, -2, -3) |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14) |b| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = sqrt(14) |a| = |b|