Question

Углекислый газ, массой 400 грамм был нагрет от 350К до 420К при постоянном давлении, а затем изотермически сжат в 2 раза. Определить количество теплоты, полученное газом и совершенную им работу.

Answer 1

Первый закон термодинамики для изобарного (при постоянном давлении) процесса: $\Delta Q=U+A$; В нашем случае: $\Delta Q = \frac{i}{2}\nu R\Delta T+p\Delta V = \frac{i}{2}\frac{m}{M}R\Delta T+p\Delta V$ (1); Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона: $p\Delta V = \nu R\Delta T = \frac{m}{M}R \Delta T$; С учетом этого (1) примет вид: $\Delta Q = \frac{i}{2}\frac{m}{M}R \Delta T +\frac{m}{M}R \Delta T =\frac{m}{M}R \Delta T(\frac{i}{2}+1)$;

Следующий процесс - изотермический. Он проходит при постоянной температуре, а значит внутренняя энергия газа остается неизменной.

Значит $\Delta Q^{'} = A^{'}$; Работа при изотермическом сжатии считается так: $A^{'}=\nu RT \ln\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{m}{M}RT \ln\frac{V_{1}}{V_{2}}$; Заметим, что газ в этом случае сжимается, т.е совершает отрицательную работу, а значит он отдает тепло. Полученное газом в итоге тепло можно считать разностью |Q| и |Q'|; Эта величина равна $|\frac{m}{M}R \Delta T(\frac{i}{2}+1)|- |\frac{m}{M}RT \ln\frac{V_{1}}{V_{2}}|$;  Молярная масса M углекислого газа равна ≈0.044 кг/моль; CO₂ - трехатомная линейная молекула, поэтому число степеней свободы для нее i=5; Подставим эти данные в формулу: $|\frac{m}{M}R \Delta T(\frac{i}{2}+1)|- |\frac{m}{M}RT \ln\frac{V_{1}}{V_{2}}| = \frac{0,044}{0,4}\times 8,31 \times 70 \times 3,5 + \frac{0,044}{0,4}\times 8,31 \times420\times \ln \frac{1}{2} \approx -42,16 \; J$; То есть газ отдал ≈42,16 Дж теплоты. Если в задаче имелось ввиду какое количество положительное количество теплоты получил газ, то ответом будет величина $\frac{m}{M}R \Delta T(\frac{i}{2}+1) = \frac{0, 044}{0,4}\times 8,31 \times 70 \times 3,5 \approx 224 \; J$;

Работа, которую совершил газ, равна $A+A^{'} = \frac{m}{M}R \Delta T+ \frac{m}{M}RT \ln\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{0,044}{0,4}\times 8,31 \times 70 + \frac{0,044}{0,4}\times 8,31\times 420 \times \ln\frac{1}{2}\approx -202\; J$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы термодинамики, а именно первый и второй законы. Первый закон термодинамики утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно количеству теплоты, добавленной к газу минус работа, совершенная газом:

ΔU = Q - W

Где: ΔU - изменение внутренней энергии газа Q - количество теплоты, добавленное к газу W - работа, совершенная газом

Сначала мы рассчитаем количество теплоты (Q) согласно первому этапу нагрева при постоянном давлении. Для этого можно использовать формулу:

Q = m * c * ΔT

Где: Q - количество теплоты m - масса газа c - удельная теплоемкость при постоянном давлении ΔT - изменение температуры

Удельная теплоемкость (c) углекислого газа при постоянном давлении можно найти в литературе. Предположим, она равна примерно 29.1 J/(g·K).

ΔT = T2 - T1 = 420 K - 350 K = 70 K

Теперь мы можем рассчитать количество теплоты:

Q1 = 400 g * 29.1 J/(g·K) * 70 K = 1,022,800 J (или 1.0228 кДж)

На следующем этапе газ изотермически сжимается в 2 раза. Для изотермического процесса работа сжатия (W) можно рассчитать с помощью следующей формулы:

W = n * R * T * ln(V2/V1)

Где: W - работа n - количество вещества газа (в молях) R - универсальная газовая постоянная (примерно 8.314 J/(mol·K)) T - температура в Кельвинах ln - натуральный логарифм V2 - объем после сжатия V1 - начальный объем

Сначала нам нужно найти количество молей (n) газа, используя его массу и молярную массу углекислого газа (CO2), которая равна примерно 44.01 г/моль.

n = масса / молярная масса = 400 g / 44.01 g/mol ≈ 9.09 моль

Теперь мы можем рассчитать работу:

W = 9.09 mol * 8.314 J/(mol·K) * 420 K * ln(1/2) ≈ 12,868.06 J (или 12.87 кДж)

Теперь мы можем использовать первый закон термодинамики, чтобы найти общее изменение внутренней энергии газа (ΔU):

ΔU = Q - W ΔU = 1,022,800 J - 12,868.06 J ΔU ≈ 1,009,931.94 J (или 1.0099 кДж)

Таким образом, количество теплоты, полученное газом, составляет примерно 1,009,932 J (или 1.0099 кДж), а совершенная газом работа составляет примерно 12,868.06 J (или 12.87 кДж).