Question

Стержень длиной | = 100 см вращается вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через него. При этом скорости концов стержня равны V1 = 20 см/с и V2 = 10 см/с. Найти угловую скорость вращения стержня.

Answer 1

Відповідь:

Дано:

v1 = 20см/с=0,2м/с                      

v2 = 10см/с =0,1 м/с                    

L =100см= 1 м

Найти:

w = ? рад/с

Решение:

v = w*R => w = v/R

w1 = v1/R1

w2 = v2/R2

w1 = w2 = w, т.к. вращательное движение стержня равномерное (так как в условии задачи  не говорится, что линейные скорости обоих концов меняют своё значение, значит они - постоянны) и угловая скорость всех точек в таком случае одинаковая.      )                                                         Запишем радиусы через длину стержня и выразим радиус одного из концов:

L = R1 + R2 => R1 = L - R2

Приравняем значение w1 к значению w2 и выразим радиус второго конца стержня:

w1 = w2

v1/(L - R2) = v2/R2

L - R2 = (v1*R2)/v2

L = (v1*R2)/v2 + R2 = (v1*R2 + v2*R2)/v2

L*v2 = v1*R2 + v2*R2 = R2*(v1 + v2)

R2 = L*v2/(v1 + v2).

И т.к. w = w2, то:

w2 = v2/R2 = v2 : L*v2/(v1 + v2) = (v1 + v2)/L =(0,2+0,1)/1=  0,3  рад/с

Ответ: угловая скорость вращения  стержня равна0,3 рад/с.

Пояснення:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения углового момента. Угловой момент (L) тела вращающегося вокруг фиксированной оси равен произведению момента инерции (I) этого тела и его угловой скорости (ω):

L = I * ω

В данном случае у нас есть стержень длиной L = 100 см и его концы двигаются с разными скоростями: V1 = 20 см/с и V2 = 10 см/с. Мы можем использовать эти скорости, чтобы найти момент инерции стержня относительно его центральной оси вращения, и затем использовать закон сохранения углового момента для определения угловой скорости.

Сначала найдем момент инерции стержня относительно его центральной оси вращения, используя теорему параллельных осям, которая гласит:

I = Icm + mL^2

где I - момент инерции относительно оси вращения, Icm - момент инерции относительно центральной оси (где момент инерции минимален), m - масса стержня, L - длина стержня.

Для стержня, масса которого равномерно распределена, момент инерции относительно его центральной оси можно найти по формуле:

Icm = (1/12) * m * L^2

Теперь мы можем найти момент инерции относительно центральной оси:

Icm = (1/12) * m * (100 см)^2

Далее, мы можем использовать закон сохранения углового момента и выразить угловую скорость (ω):

L = I * ω

L = (Icm + mL^2) * ω

Теперь подставим значения:

L = [(1/12) * m * (100 см)^2 + m * (100 см)^2] * ω

L = [(1/12 + 1) * m * (100 см)^2] * ω

L = [(13/12) * m * (100 см)^2] * ω

Теперь мы можем выразить угловую скорость ω:

ω = L / [(13/12) * m * (100 см)^2]

Теперь мы знаем значения L и м, чтобы рассчитать угловую скорость ω. L - это угловой момент, и его можно найти, умножив разницу скоростей концов стержня на половину его длины:

L = (V1 - V2) * (L / 2)

L = (20 см/с - 10 см/с) * (100 см / 2)

L = 10 см/с * 50 см

L = 500 см^2/с

Теперь мы можем вычислить угловую скорость ω:

ω = (500 см^2/с) / [(13/12) * m * (100 см)^2]

Теперь нужно учесть, что 1 см = 0,01 м и пересчитать значения в метры:

ω = (500 (см^2/с)) / [(13/12) * m * (100 (см))^2]

ω = (0.5 (м^2/с)) / [(13/12) * m * (1 (м))^2]

Теперь мы можем упростить это выражение:

ω = (0.5 (м^2/с)) / [(13/12) * m]

Теперь у нас есть выражение для угловой скорости ω. Чтобы вычислить её численное значение, нам нужно знать массу стержня (m). После подстановки значения массы в это выражение, мы сможем найти угловую скорость вращения стержня.