Question

СРОЧНО! ДАЙТЕ ОТВЕТ С РЕШЕНИЕМ!!! Стержень длиной 1м вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через некоторую его точку. Скорости концов стержня при этом равны 1 м/с и 0,5 м/с. Найдите угловую скорость стержня.

Answer 1

Дано:

v1 = 1 м/с

v2 = 0,5 м/с

L = 1 м

Найти:

w = ? рад/с

Решение:

v = w*R => w = v/R

w1 = v1/R1

w2 = v2/R2

Очевидно, что w1 = w2 = w, т.к. вращательное движение стержня равномерное (в условиях не говорится, что линейные скорости обоих концов меняют своё значение, значит они - постоянны) и угловая скорость всех точек в таком случае одинаковая. Запишем радиусы через длину стержня и выразим радиус одного из концов:

L = R1 + R2 => R1 = L - R2

Приравняем значение w1 к значению w2 и выразим радиус второго конца стержня:

w1 = w2

v1/(L - R2) = v2/R2

L - R2 = (v1*R2)/v2

L = (v1*R2)/v2 + R2 = (v1*R2 + v2*R2)/v2

L*v2 = v1*R2 + v2*R2 = R2*(v1 + v2)

R2 = L*v2/(v1 + v2).

И т.к. w = w2, то:

w2 = v2/R2 = v2 : L*v2/(v1 + v2) = (v1 + v2)/L = (1 + 0,5)/1 = 1,5 рад/с

Ответ: угловая скорость стержня равна 1,5 рад/с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса тела относительно неподвижной точки остается постоянным, если на него не действуют внешние моменты сил.

Момент импульса (момент кинетической энергии) вращающегося стержня можно выразить как:

$L = I \cdot \omega$,

где $L$ - момент импульса, $I$ - момент инерции стержня относительно оси вращения, $\omega$ - угловая скорость.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к стержню, равен:

$I = \frac{1}{3} m \cdot L^2$,

где $m$ - масса стержня, $L$ - длина стержня.

У нас даны скорости концов стержня: $v_1 = 1 \, \text{м/с}$ и $v_2 = 0.5 \, \text{м/с}$. Мы можем использовать эти значения для вычисления угловой скорости $\omega$ следующим образом:

$v_1 = R \cdot \omega$, $v_2 = R \cdot \omega$,

где $R$ - расстояние от центра стержня до его конца. Так как $R = \frac{1}{2}$ м (половина длины стержня), мы можем записать:

$\frac{1}{2} \cdot \omega = 1$, $\frac{1}{2} \cdot \omega = 0.5$.

Решая это уравнение, мы находим $\omega$:

$\omega = 2 \, \text{рад/с}$.

Таким образом, угловая скорость стержня составляет $2 \, \text{рад/с}$.