Question

Определите массу шара, который колеблется на пружине с амплитудой 10 см и максимальной скоростью 5 м/с, если жесткость пружины 0,5 кН/м

Answer 1

Кинетическая энергия шара равна потенциальной энергии пружины: mV²/2 = kx²/2 ⇒ m = kx²/V² = 500·(0,1)²/5² = 0,2 кг.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать законы механики, описывающие гармонические колебания.

Максимальная скорость в гармонических колебаниях связана с амплитудой и максимальным смещением следующим образом:

$v_{\text{max}} = \omega A$

где $v_{\text{max}}$ - максимальная скорость, $\omega$ - угловая частота, $A$ - амплитуда.

Угловая частота $\omega$ связана с жесткостью пружины $k$ и массой $m$ объекта, колеблющегося на пружине, следующим образом:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Здесь $k$ - жесткость пружины, $m$ - масса объекта.

Мы можем объединить эти две формулы и решить уравнение для массы $m$:

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Сначала переведем жесткость пружины $k$ из кН/м в Н/м:

$k = 0.5 \, \text{kN/m} = 500 \, \text{N/m}$

Теперь мы можем решить уравнение для массы $m$:

$5 \, \text{m/s} = 0.1 \, \text{m} \cdot \sqrt{\frac{500 \, \text{N/m}}{m}}$

Теперь, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$25 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 0.01 \, \text{m}^2/s^2 \cdot \frac{500 \, \text{N/m}}{m}$

Теперь делим обе стороны на $0.01 \, \text{m}^2/s^2$ и умножаем на $m$, чтобы изолировать $m$:

$m = \frac{0.01 \, \text{m}^2/s^2}{25 \, \text{m}^2/s^2} \cdot 500 \, \text{N/m}$

Вычислим это:

$m = \frac{0.01}{25} \cdot 500 \, \text{kg}$

$m = 0.02 \cdot 500 \, \text{kg}$

$m = 10 \, \text{kg}$

Итак, масса шара, который колеблется на пружине с амплитудой 10 см и максимальной скоростью 5 м/с, равна 10 кг.