Question

Даю 40 баллов Гирю массой 200г,подвешенную на пружине жесткостью 100 н/м медленно сместили вниз на 3 см относительно положения и отпустили. Найти максимальную кинетическую энергию гири и ее скорость в момент,когда она будет ниже точки равновесия на 1 см​

Answer 1

Ответ:

Максимальная кинетическая энергия 0,045 Дж.

Искомая скорость  ≈ 0,6324 м/с

Объяснение:

Дано:

m = 200 г = 0,2 кг

k = 100 H/м

A = 3 см = 0,03 м

х₁ = 1 см = 0,001 м

Найти:

Ек max - максимальную кинетическую энергию

v₁ - скорость в момент, когда смещение х₁ = 1 см

Решение:

Уравнение гармонических колебаний

x(t) = A · sin (ωt + φ)

Циклическая частота колебаний

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m} } = \sqrt{\dfrac{100}{0.2} } = \sqrt{500} \approx 22.36~(rad/s)$

Начальная фаза колебаний

φ = 0,5π/

Тогда уравнение колебаний данной системы

x(t) = 0,03 · sin (22,36t + 0,5π)   (м)   (1)

Скорость груза

v(t) = x'(t) = 0.03 · 22.36 ·cos (22,36t + 0,5π)

или

v(t) = 0.6708 ·cos (22,36t + 0,5π)  (м/с)   (2)

Максимальная скорость

v max = 0.6708 м/с

Максимальная кинетическая энергия

Ек max = 0.5 · m · v²max = 0.5 · 0.2 · 0.6708² = 0.045 (Дж)

При смещении относительно положения равновесия x₁ = 0.01 м

из выражения (1) получим

0,01 = 0,03 · sin (22,36t + 0,5π)

sin (22,36t + 0,5π)  = 1/3

Следовательно,

cos (22,36t + 0,5π) = √(1 - sin² (22,36t + 0,5π)) = √(1 - 1/9) = (2√2)/3

и скорость при таком смещении

v₁ = 0.6708 · (2√2)/3 ≈ 0.6324 (м/с)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии. Исходно, когда гиря была поднята на 3 см относительно положения равновесия, у неё была потенциальная энергия, которая впоследствии превратится в кинетическую энергию, когда она опустится на 1 см ниже точки равновесия.

1. Вычислим потенциальную энергию гири и её скорость при начальном поднятии на 3 см: Потенциальная энергия (P) = масса (m) * ускорение свободного падения (g) * высота (h) P = 0.2 кг * 9.81 м/с² * 0.03 м = 0.05886 Дж

2. Теперь найдем скорость гири в точке, когда она находится 1 см ниже точки равновесия. Для этого используем закон сохранения механической энергии: Потенциальная энергия + Кинетическая энергия = Постоянная

На этом этапе, потенциальная энергия уменьшится, а кинетическая энергия увеличится.

Потенциальная энергия в новом положении (P') = 0.2 кг * 9.81 м/с² * 0.02 м = 0.03924 Дж (1 см ниже точки равновесия)

Потенциальная энергия в начальном положении (P) = 0.05886 Дж (рассчитано ранее)

Кинетическая энергия (K) = Постоянная - Потенциальная энергия K = P - P' = 0.05886 Дж - 0.03924 Дж = 0.01962 Дж

3. Теперь найдем скорость (v) гири в этом новом положении, используя формулу для кинетической энергии: K = (1/2) * масса * скорость^2

0.01962 Дж = (1/2) * 0.2 кг * скорость^2

Теперь решим уравнение для скорости: скорость^2 = (2 * 0.01962 Дж) / 0.2 кг скорость^2 = 0.1962 Дж / 0.2 кг скорость^2 = 0.981 Дж/кг

Теперь найдем скорость: скорость = √(0.981 Дж/кг) = 0.99 м/с

Таким образом, максимальная кинетическая энергия гири составляет 0.01962 Дж, а её скорость в момент, когда она находится 1 см ниже точки равновесия, равна примерно 0.99 м/с.

Answer 3

Для нахождения максимальной кинетической энергии гири и ее скорости в момент, когда она будет ниже точки равновесия на 1 см, мы можем использовать законы сохранения энергии.

1. Первоначально, найдем потенциальную энергию гири в начальном положении, когда она была поднята на 3 см относительно положения равновесия.

Потенциальная энергия пружины (U) можно вычислить по формуле:

U = (1/2) * k * x^2,

где:

• k - жесткость пружины (100 Н/м),
• x - смещение пружины относительно положения равновесия (3 см = 0,03 м).

U = (1/2) * 100 Н/м * (0,03 м)^2 = 0,045 Дж.

2. Затем найдем потенциальную энергию гири в момент, когда она будет ниже точки равновесия на 1 см относительно положения равновесия.

Потенциальная энергия гири (mgh) равна произведению ее массы (m), ускорения свободного падения (g), и высоты (h):

U = m * g * h,

где:

• m - масса гири (0,2 кг = 200 г = 0,2 кг),
• g - ускорение свободного падения (примем приближенное значение 9,8 м/с²),
• h - высота относительно положения равновесия (1 см = 0,01 м).

U = 0,2 кг * 9,8 м/с² * 0,01 м = 0,0196 Дж.

3. Теперь найдем разницу в потенциальной энергии гири между начальным и конечным положениями:

ΔU = U_начальное - U_конечное = 0,045 Дж - 0,0196 Дж = 0,0254 Дж.

4. Эта разница в потенциальной энергии становится кинетической энергией гири в момент, когда она находится ниже точки равновесия на 1 см.

Теперь используем закон сохранения механической энергии:

K_начальная + U_начальная = K_конечная + U_конечная,

где:

• K_начальная - начальная кинетическая энергия (0, так как гиря начала движение с нулевой скоростью),
• U_начальная - начальная потенциальная энергия (0,045 Дж),
• K_конечная - конечная кинетическая энергия (которую мы и ищем),
• U_конечная - конечная потенциальная энергия (0,0196 Дж).

Из этого уравнения можно найти K_конечная:

K_конечная = K_начальная + U_начальная - U_конечная = 0 + 0,045 Дж - 0,0196 Дж = 0,0254 Дж.

5. Теперь найдем скорость гири в конечный момент, используя кинетическую энергию:

K_конечная = (1/2) * m * v^2,

где:

• m - масса гири (0,2 кг),
• v - скорость гири в конечный момент.

0,0254 Дж = (1/2) * 0,2 кг * v^2.

Теперь решим уравнение для v:

v^2 = (0,0254 Дж * 2) / 0,2 кг, v^2 = 0,254 Дж / 0,2 кг, v^2 = 1,27 м²/с².

v = √1,27 м²/с² ≈ 1,13 м/с.

Таким образом, максимальная кинетическая энергия гири в момент, когда она находится ниже точки равновесия на 1 см, составляет 0,0254 Дж, а ее скорость в этот момент примерно равна 1,13 м/с.