Question

Максимальное ускорение частицы, совершающей гармонические колебания, равна am=48 см/с2, а максимальная скорость vm=12см/с. Чему равна амплитуда смещения ?

Answer 1

Дано:

а_m = 48 см/с²

υ_m = 12 см/с

А - ?

Решение:

x = x_m*sin(ωt + φ)

x_m = A

υ = x' = (x_m*sin(ωt + φ))' = (x_m)' * (sin(ωt + φ))' = 0 + x_m*cos(ωt + φ)*(ωt + φ)' = x_m*ω*cos(ωt + φ)

x_m = A

υ_m = x_m*ω = A*ω

a = υ' = (x_m*ω*cos(ωt + φ))' = (x_m * ω)' * (cos(ωt + φ)' = 0 + x_m*ω * (-sin(ωt + φ)*(ωt + φ)' = x_m*ω*ω*(-sin(ωt + φ)) = x_m*ω²*(-sin(ωt + φ))

a_m = x_m*ω² = A*ω²

υ_m = Aω => ω = υ_m/A

a_m = Aω² = A*(υ_m/A)² = A*υ_m²/A² = υ_m²/A

A = υ_m²/a_m = 12²/48 = 12*12/(12*4) = 12/4 = 3 см

Ответ: 3 см.

Answer 2

Для частицы, совершающей гармонические колебания, связь между максимальной амплитудой смещения (A), максимальной скоростью (V_max) и максимальным ускорением (a_max) задается следующим образом:

V_max = Aω, a_max = Aω^2,

где ω - угловая частота гармонических колебаний.

Мы можем найти ω, используя уравнение для a_max:

a_max = Aω^2.

Для вашего случая a_max = 48 см/с² и V_max = 12 см/с.

Сначала найдем угловую частоту ω:

ω = sqrt(a_max / A).

ω = sqrt(48 см/с² / A).

Теперь мы знаем, что:

V_max = Aω, 12 см/с = A * sqrt(48 см/с² / A).

Теперь решим это уравнение относительно A:

A * sqrt(48 см/с² / A) = 12 см/с.

Умножим обе стороны на sqrt(A):

sqrt(48 см/с² / A) * sqrt(A) = 12 см/с.

sqrt(48 см²/с²) = 12 см/с.

Теперь извлечем квадратный корень из 48 см²/с²:

sqrt(48 см²/с²) ≈ 6.93 см/с.

Теперь делим 12 см/с на это значение, чтобы найти амплитуду A:

A = 12 см/с / 6.93 см/с ≈ 1.73 см.

Таким образом, амплитуда смещения частицы составляет около 1.73 см.