Question

Однородный диск радиуса 0,1 м, катящийся без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью 5 м/с, попадая на наклонный участок, поднимается на высоту?

Answer 1

Основная идея этой задачи состоит буквально в следующем:

1. Мгновенный центр вращения в каждый момент времени - точка касания диска и земли (действительно, относительно земли только она остается в покое, пусть даже на бесконечно маленький промежуток времени).

2. Диск вращается твердотельно, т.е. угловые скорости всех точек диска равны между собой.

Итак, в данный момент времени (который на картинке), качение диска можно эквивалентно заменить на его вращение вокруг точки А. Пишем:

\vec v=\vec \omega\times \vec r

v

=

ω

×

r

(определение)

Поскольку нас волнует только модуль скорости и диск движется только в одной плоскости, на векторное произведение мы можем спокойно забить и писать уравнения для модуля поступательной скорости:

v=\omega \cdot rv=ω⋅r ,

здесь r - расстояние от центра вращения до точки, в которой нужно посчитать скорость.

Итак,

для центра: v_O= \omega R; \boxed {R=\frac v \omega}v

O

=ωR;

R=

ω

v

для т. С: v_C=\omega\cdot 2R=2vv

C

=ω⋅2R=2v

для т-к B и D: v_B=v_D=\omega\cdot \sqrt 2 R=v \sqrt 2v

B

=v

D

=ω⋅

2

R=v

2

С точкой Е чуть-чуть сложнее.

Заметим, что треугольник AOE - равнобедренный, тогда сторона AE равно радиусу диска. Таким образом, v_E=\omega r=v_ .

Отвечая на второй вопрос, потребуем, чтобы поступательная скорость движения некоторых точек диска была равна скорости центра:

u=\omega r^*u=ωr

∗

Теперь заметим, что в левой части скорость обязана быть постоянной (по условию) и в правой части угловая скорость также постоянная (так как диск - твердое тело). В таком случае, и радиус тоже должен быть постоянным и равным радиусу диска (r^*=\frac {v_O}{\omega}=Rr

∗

=

ω

v

O

=R ).

Теперь становится очевидным, что геометрическое место точек диска, движущихся со скоростью его центра - это дуга окружности радиусом, равным радиусу диска с центром в точке его касания с землей и, как легко показать, величиной в 120 градусов.

Answer 2

Чтобы определить, на какую высоту поднимется однородный диск при катании без проскальзывания по наклонной поверхности, мы можем использовать законы сохранения энергии. Диск будет иметь как кинетическую энергию (из-за его движения) и потенциальную энергию (из-за его высоты над поверхностью). Когда диск начинает двигаться вверх по наклонной поверхности, его кинетическая энергия постепенно превращается в потенциальную энергию.

Формула для потенциальной энергии (P) в данном случае будет следующей:

P = m * g * h,

где:

• m - масса диска,
• g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с² на поверхности Земли),
• h - высота, на которую диск поднимется.

Кинетическая энергия (K) вычисляется следующим образом:

K = (1/2) * m * v^2,

где:

• v - скорость диска (в данном случае 5 м/с).

На горизонтальной поверхности диск не имеет потенциальной энергии (h = 0), поэтому его энергия полностью кинетическая. Когда диск начинает двигаться вверх по наклонной поверхности, его скорость уменьшается, но кинетическая энергия должна сохраняться.

Таким образом, начальная кинетическая энергия диска равна его конечной потенциальной энергии:

(1/2) * m * v^2 = m * g * h.

Теперь мы можем решить эту формулу для h:

h = (1/2) * (v^2 / g).

Подставляем известные значения:

h = (1/2) * (5^2 / 9.8) ≈ 1.275 м.

Диск поднимется на высоту примерно 1.275 метра по наклонной поверхности.