Question

ДАЮ 100 балов!!!! У горизонтальній циліндричній посудині міститься тонкий рухомий поршень. У лівій частині знаходиться 28 г гелію, а у правій – азот. У стані рівноваги гелій займає область довжиною 40 см, а азот – 20 см. Скільки гелію знаходиться у посудині, якщо температура обох газів однакова?

Answer 1

За законом Бойля-Маріотта об'єм газу пропорційний тиску, який він створює за постійної температури:

$pV = const.$

Також за законом Гей-Люссака температура газу пропорційна його тиску за постійного об'єму:

$\frac{p}{T} = const.$

Якщо ми знаємо температуру, об'єм і тиск будь-якого з газів, то ми можемо знайти його масу, використовуючи ідеальне газове рівняння:

$pV = nRT,$

де $n$ - кількість речовини газу, $R$ - універсальна газова стала.

Оскільки температура обох газів однакова, то за законом Гей-Люссака тиск кожного з газів пропорційний його концентрації. Оскільки гази знаходяться в стані рівноваги, то тиск в обох частинах посудини рівний.

Таким чином, для гелію та азоту виконуються наступні співвідношення:

$p_{He}V_{He} = n_{He}RT$

$p_{N_2}V_{N_2} = n_{N_2}RT$

$p_{He} = p_{N_2}$

$n_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}}$

$n_{N_2} = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}$

де $M_{He}$ та $M_{N_2}$ - молярні маси гелію та азоту відповідно.

Молярна маса гелію $M_{He} = 4$ г/моль, а молярна маса азоту $M_{N_2} = 28$ г/моль.

За умовою задачі в обох частинах посудини тиск однаковий, тому ми можемо записати:

$p_{He}V_{He} = p_{N_2}V_{N_2}$

$V_{N_2} = \frac{V_{He}}{2}$

$\frac{m_{He}}{M_{He}}RT = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}}RT\cdot\frac{1}{2}$

$m_{He} = \frac{M_{He}}{M_{N_2}}\cdot\frac{V_{He}}{2} = \frac{4}{28}\cdot\frac{40

Answer 2

Для вирішення цього завдання можна використовувати закон Бойля для ідеальних газів:

$P_1V_1 = P_2V_2$

де $P_1$ і $P_2$ - тиск газів, а $V_1$ і $V_2$ - їхні об'єми.

Також відомо, що об'єм газу пропорційний кількості молекул, які його складають (за незмінних температур і тисків). Отже, можна виразити відношення об'ємів двох газів:

$\frac{V_{\text{гелій}}}{V_{\text{азот}}} = \frac{n_{\text{гелій}}}{n_{\text{азот}}}$

де $n_{\text{гелій}}$ і $n_{\text{азот}}$ - кількості молекул гелію та азоту відповідно.

Задача каже, що гелій займає область довжиною 40 см, а азот - 20 см. Тобто:

$\frac{V_{\text{гелій}}}{V_{\text{азот}}} = \frac{40}{20} = 2$

Тепер використаємо закон Бойля. Позначимо тиск газу гелію $P_{\text{гелій}}$, а тиск азоту $P_{\text{азот}}$. Також позначимо початкові об'єми газів як $V_0$, а об'єми в стані рівноваги - $V_{\text{гелій}}$ і $V_{\text{азот}}$.

$P_{\text{гелій}} \cdot V_0 = P_{\text{азот}} \cdot V_0$

$P_{\text{гелій}} \cdot V_{\text{гелій}} = P_{\text{азот}} \cdot V_{\text{азот}}$

Оскільки $\frac{V_{\text{гелій}}}{V_{\text{азот}}} = 2$, то $V_{\text{гелій}} = 2 \cdot V_{\text{азот}}$.

Підставимо це у рівняння:

$P_{\text{гелій}} \cdot (2 \cdot V_{\text{азот}}) = P_{\text{азот}} \cdot V_{\text{азот}}$

Розділімо обидві сторони на $V_{\text{азот}}$:

$P_{\text{гелій}} \cdot 2 = P_{\text{азот}}$

Таким чином, тиск гелію дорівнює тиску азоту удвічі. Але ми знаємо, що температура обох газів однакова, тобто температура залишається константою.

Таким чином, ми можемо використовувати закон Гей-Люссака для ідеальних газів, який стверджує, що тиск і об'єм ідеального газу пропорційні за постійної кількості газу і температури:

$\frac{P_{\text{гелій}}}{T} = \frac{P_{\text{азот}}}{T}$

де $T$ - температура.

Це означає, що $P_{\text{гелій}} = P_{\text{азот}}$.

Отже, тиск гелію та азоту однаковий. Але, згідно рівнянням стану ідеального газу, тиск пропорційний кількості молекул газу, температурі і об'єму.

Отже, можемо сказати, що $n_{\text{гелій}} = n_{\text{азот}}$ і $V_{\text{гелій}} = 2 \cdot V_{\text{азот}}$.

Так як об'єм газів в лівій і правій частині посудини однаковий, $V_{\text{гелій}} + V_{\text{азот}} = V_0$. Підставимо значення:

$2 \cdot V_{\text{азот}} + V_{\text{азот}} = V_0$