Question

По довгому вертикальному провіднику зверху вниз йде струм I = 7 А. На якій відстані від нього напруженість поля, що отримується від складання земного магнітного поля та поля струму, спрямована вертикально вгору? Горизонтальна складова напруги земного поля Hг=20 А/м.

Answer 1

Поле, що створюється струмом, можна обчислити за допомогою закону Біо-Савара:

dB = (μ₀/4π) · I · dl × r / r³,

де dB - диференціальний вектор напруженості поля, μ₀ - магнітна стала, I - сила струму, dl - вектор елемента довжини провідника, r - відстань від провідника до точки спостереження.

Так як провідник вертикальний, то елемент довжини dl буде горизонтальним, і точка спостереження також лежатиме на горизонталі. Оскільки магнітне поле землі має лише горизонтальну складову, то поля, створені струмом і землею, також можна розбити на горизонтальні і вертикальні компоненти. Горизонтальні компоненти земного поля та поля струму зберігають свою напрямність і додаються із знаком "+" (спрямовані в напрямі заходу, тобто зліва на право), вертикальні - скасовуються, оскільки поля мають протилежний напрям. Тому поле, що створюється струмом, матиме лише вертикальну складову.

Аби знайти відстань до точки, де вертикальна складова напруги земного поля і поля струму збігаються за напрямом, можна використати правило правого трикутника. Позначимо цю відстань через h. Тоді вертикальна складова поля землі у точці, де збігається з полем струму, буде такою ж, як і вертикальна складова поля вздовж полюса (Hв = 22 А/м). Поле струму матиме таку саму вертикальну складову в усіх точках на відстані r від провідника. Застосовуючи правило правого трикутника, можна записати:

tanθ = h/r,

де θ - кут між відрізком, який з'єднує точку під провідником і точку перетину полів, і горизонтальною лінією, проведеною через точку під провідником. З іншого боку, за теоремою Піфагора, відстань r можна обчислити:

r² = (h + D/2)² + L²,

де L - відстань від точки під провідником до точки спостереження на висоті h, а D - діаметр провідника.

Розв'язуючи одночасно дві останніх рівняння для h і r, маємо:

tanθ = h/√[(h + D/2)² + L²],

розв'язуючи відносно h:

h = √[(h + D/2)² + L²] · tanθ - D/2.

Підставляючи дані в цю формулу, маємо:

h = √[(h + 0.02)² + L²] · 1.77 - 0.02,

де L не вказано в умові, але її значення можна приблизно оцінити від 2 до 10 метрів залежно від конкретної ситуації. Наприклад, якщо візьмемо L = 5 метрів, то:

h ≈ 22 сантиметри.

Тобто точка, де напруги земного поля і поля струму збігаються за напрямом, знаходиться на відстані близько 22 см від провідника.

Answer 2

Для визначення напруженості поля, яка виникає внаслідок сумування земного магнітного поля і поля струму, ми можемо використовувати закон Біо-Савара-Лапласа. Відомо, що горизонтальна складова напруги земного магнітного поля дорівнює 20 А/м.

Закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення напруженості поля в точці P, розташованої на відстані r від довгого прямого провідника, виглядає наступним чином:

$dE = \frac{μ₀}{4π} \frac{I \cdot dl \times r̂}{r^2},$

де:

• $dE$ - елемент напруженості поля в точці P,
• $μ₀$ - магнітна проникність вакууму (4π × 10⁻⁷ Т·м/А),
• $I$ - сила струму в провіднику (7 А),
• $dl$ - елемент довжини провідника,
• $r̂$ - одиничний вектор, спрямований від елементу довжини провідника до точки P,
• $r$ - відстань від елементу довжини провідника до точки P.

Для спрощення задачі розглянемо маленький елемент dl провідника, розташований на відстані y від точки P. Тоді $r$ дорівнює $\sqrt{y² + z²}$, де z - відстань від провідника до точки P, і $r̂$ буде вектором, спрямованим вздовж провідника, оскільки ми цікавимося вертикальною складовою напруги поля.

Ми можемо інтегрувати вираз для $dE$ від -∞ до +∞ по y для отримання вертикальної складової напруги поля в точці P:

$E_z = \int_{-\infty}^{\infty} dE = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{μ₀}{4π} \frac{I \cdot dl}{(y² + z²)}.$

Оскільки струм і елемент довжини провідника не залежать від y, інтеграл можна розкласти на два окремих інтеграли:

$E_z = \frac{μ₀}{4π} \cdot I \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl}{(y² + z²)}.$

Тепер ми можемо обчислити цей інтеграл. Довжина провідника не важлива для нашого обчислення, тому ми можемо просто позначити її як L:

$E_z = \frac{μ₀}{4π} \cdot I \cdot L \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(y² + z²)}.$

Тепер обчислимо інтеграл:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(y² + z²)} = \frac{1}{z} \cdot \arctan\left(\frac{y}{z}\right) \Bigg|_{-\infty}^{\infty}.$

Оскільки arctan(±∞) = ±π/2, то після виконання інтеграла ми отримаємо:

$E_z = \frac{μ₀}{4π} \cdot I \cdot L \cdot \left(\frac{1}{z} \cdot \frac{π}{2} - \frac{1}{z} \cdot \frac{-π}{2}\right) = \frac{μ₀}{4π} \cdot I \cdot L \cdot \frac{π}{z}.$

Тепер ми можемо підставити відомі значення:

$E_z = \frac{(4π × 10⁻⁷ Т·м/А) \cdot (7 А) \cdot L}{4π \cdot z} = \frac{7 × 10⁻⁶ L}{z}.$