Question

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и N вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние k вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Answer 1

Обозначим:

$L$    – длина одного вагона или локомотива,

$v_o$    – скорость передней точки локомотива, когда он проезжает мимо,

$v_1$    – скорость поезда, когда локомотив только что проехал наблюдателя,

$v_k$    – скорость поезда, когда только k вагонов ещё не проехали мимо,

$v$    – скорость поезда, когда весь поезд проехал наблюдателя,

Будем измерять время от состояния     $v_o \ .$

Пусть через время     $\tau$    наступило состояние     $v_1 \ .$

Пусть состояния     $v_o$    и     $v$    – отделаят промежуток времени     $t \ .$

Состояния     $v_k$    и     $v$    – очевидно отделаят промежуток времени     $\tau .$

Через средние скрости, ясно, что:

$\frac{ v_o + v_1 }{2} \tau = L \ ;$      [1]

$\frac{ v_k + v }{2} \tau = kL \ ;$      [2]

$\frac{ v_o + v }{2} t = (N+1)L \ ;$      [3]

Кроме того:

$v - v_k = a \tau = v_1 - v_o \ ;$

$v + v_o = v_1 + v_k \ ;$      [4]

Складывая [1] и [2], получаем:

$(k+1)L = \frac{ v_o + v_1 }{2} \tau + \frac{ v_k + v }{2} \tau = \frac{ v_o + v_1 + v_k + v }{2} \tau \ ;$

Учитывая [4], получаем:

$(k+1)L = ( v_o + v ) \tau \ ;$

$(N+1)L = \frac{ v_o + v }{2} t \ ;$

Разделим последние уравнения:

$\frac{N+1}{k+1} = \frac{t}{ 2 \tau } \ ;$

$t = \frac{N+1}{k+1} \cdot 2 \tau \ ;$    [5] – это всё время движения поезда мимо наблюдателя:

За это время скорость дорастает от значения     $v_o$    до значения     $v \ ,$    изменяясь на величину     $( v - v_o ) \ .$

При том же ускорении за первый интервал     $\tau$    скорость возрастёт только на величину:

$v_1 - v_o = \frac{ \tau }{ t } ( v - v_o ) \ ;$

$v_1 = v_o + \frac{ \tau }{ t } ( v - v_o ) \ ;$

Средняя скорость за время проезда локомотива:

$v_{cp} = \frac{ v_o + v_1 }{2} = v_o + \frac{ \tau }{ 2t } ( v - v_o ) \ ;$

$L = v_{cp} \tau = ( v_o + \frac{ \tau }{ 2t } ( v - v_o ) ) \tau \ ;$      [6]

Средняя скорость за время проезда всего поезда:

$V_{cp} = \frac{ v_o + v }{2} \ ;$

$(N+1)L = V_{cp} t = \frac{ v_o + v }{2} t \ ;$      [7]

Перемножим [6] и [7] крест-накрест:

$\frac{ v_o + v }{2} t = (N+1) ( v_o + \frac{ \tau }{ 2t } ( v - v_o ) ) \tau \ ;$

$( v_o + v ) \frac{t}{ \tau } = (N+1) ( 2 v_o + \frac{ \tau }{t} ( v - v_o ) ) \ ;$

С учётом [5] имеем:

$( v_o + v ) \frac{2}{k+1} = 2 v_o + \frac{k+1}{2(N+1)} ( v - v_o ) \ ;$

$\frac{2}{k+1} v - \frac{k+1}{2(N+1)} v = 2 v_o - \frac{k+1}{2(N+1)} v_o - \frac{2}{k+1} v_o \ ;$

$( \frac{2}{k+1} - \frac{k+1}{2(N+1)} ) v = ( \frac{2k}{k+1} - \frac{k+1}{2(N+1)} ) v_o \ ;$

$( \frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( \frac{4(N+1)k}{(k+1)^2} - 1 ) v_o \ ;$

$( \frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( \frac{4(N+1)k}{(k+1)^2} - k + k -1 ) v_o \ ;$

$( \frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( ( \frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) k + k -1 ) v_o \ ;$



ОТВЕТ:

$\frac{v}{v_o} = k + \frac{ k - 1 }{ \frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 } \ ;$



Например, при     $N = 11$    и     $k = 5 \ ,$    получаем:

$\frac{v}{v_o} = 5 + \frac{ 5 - 1 }{ \frac{4(11+1)}{(5+1)^2} - 1 } = 17 \ ;$



при     $N = 14$    и     $k = 5 \ ,$    получаем:

$\frac{v}{v_o} = 5 + \frac{ 5 - 1 }{ \frac{4(14+1)}{(5+1)^2} - 1 } = 11 \ ;$




при     $N = 20$    и     $k = 6 \ ,$    получаем:

$\frac{v}{v_o} = 6 + \frac{ 6 - 1 }{ \frac{4(20+1)}{(6+1)^2} - 1 } = 13 \ .$

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. По условию, локомотив и первые N - k вагонов проезжают мимо наблюдателя за одинаковое время. Это означает, что они имеют одинаковое ускорение и скорость на данном участке.

Когда поезд проезжает мимо наблюдателя, локомотив и первые N - k вагонов перемещаются на некоторое расстояние, скажем, "d", за время "t". За это же время "t" последние k вагонов проезжают мимо него.

Поскольку в этом случае ускорение постоянно, мы можем использовать уравнение движения:

$s = ut + \frac{1}{2}at^2$,

где $s$ - расстояние, $u$ - начальная скорость, $a$ - ускорение, $t$ - время.

Для локомотива и первых N - k вагонов:

$d = \frac{1}{2}a t^2$.

Для последних k вагонов:

$d = ut + \frac{1}{2}at^2$.

Так как расстояние "d" одинаково для обоих случаев (так как локомотив и первые N - k вагонов проезжают за одинаковое время, что и последние k вагонов), мы можем приравнять выражения:

$\frac{1}{2}a t^2 = ut + \frac{1}{2}at^2$.

Сокращаем на $\frac{1}{2}a t^2$ с обеих сторон:

$ut = ut + \frac{1}{2}at^2$,

что означает, что начальная скорость для обоих случаев одинакова:

$u = u$.

Теперь обратим внимание на вторую часть вопроса. Нас интересует, во сколько раз увеличится скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя.

Скорость можно выразить через ускорение и время:

$v = u + at$,

где $v$ - скорость, $u$ - начальная скорость, $a$ - ускорение, $t$ - время.

Мы видим, что скорость напрямую зависит от ускорения и времени. Так как ускорение остается неизменным, а время одинаково для обоих случаев (прохождение локомотива и первых N - k вагонов, а также последних k вагонов), то изменение скорости также будет одинаковым.

Таким образом, скорость поезда увеличится в $1$ раз, или останется неизменной, в течение времени, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя.