Question

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 6 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Answer 1

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:

Обозначим скорость поезда в начальный момент, как    $v_o \ ,$

скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя:    $v_1 \ ,$

когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя:    $v_6 \ ,$

и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя:    $v \ .$

В соответствии с условием: интервалы времени от состояния    $v_o$    до    $v_1 \ ,$    и от состояния    $v_6$    до    $v$    – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное:

$v - v_6 = v_1 - v_o \ ;$      [1]

С другой стороны, от состояния    $v_6$    до    $v$    – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния    $v_o$    до    $v_1$    – а значит, средняя скорость $v_{6end}$    вшестеро больше средней скорости    $v_{o-1} .$

$v_{6end} = 6 v_{o-1} \ ;$

$v + v_6 = 6 v_1 + 6 v_o \ ;$

Сложим с [1] :

$v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o \ ;$      [2]

Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:

$v^2 - v_o^2 = 21 ( v_1^2 - v_o^2 ) \ ,$
так как вся длина поезда составляет    $20$    вагонов + локомотив.

Подставляем [2] и получаем:

$( 3.5 v_1 + 2.5 v_o )^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$

$12.25 v_1^2 + 17.5 v_1 v_o + 6.25 v_o^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$

$8.75 v_1^2 - 17.5 v_1 v_o - 26.25 v_o^2 = 0 \ ; \ \ \ \ || : 8.75 v_o^2 }$

$(\frac{v_1}{v_o})^2 - 2 \cdot \frac{v_1}{v_o} - 3 = 0 \ ;$

$\frac{v_1}{v_o} \in \{ -1 , 3 \} \ ;$

$v_1 = 3 v_o \ ;$

Из [2]:

$v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o = 3.5 \cdot 3 v_o + 2.5 v_o = 13 v_o \ ;$

ОТВЕТ:    $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$





ВТОРОЙ СПОСОБ:

Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя:

$S = v_o t + \frac{at^2}{2} \ ;$

Обозначим длину вагона, как    $L .$

Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав –
– проедут через время    $t_o , t_6$    и    $t :$

$L = v_o t_o + \frac{a t_o^2}{2} \ ;$        [1]

$15L = v_o t_6 + \frac{a t_6^2}{2} \ ;$        [2]

$21L = v_o t + \frac{a t^2}{2} \ ;$

Вычтем из последнего – предпоследнее:

$6L = v_o ( t - t_6 ) + \frac{a}{2} ( t^2 - t_6^2 ) \ ;$

Поскольку    $t - t_6 = t_o ,$    то, используя [1]:

$6L = v_o t_o + \frac{a t_o}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o t_o + 6 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$

$v_o + \frac{a}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o + 6 \cdot \frac{a t_o}{2} \ ;$

$t + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$

$t_6 + t_o + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$

$t_6 = \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o \ ;$

$t = t_6 + t_o = \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o \ ;$            [3]


Учитывая [2] :

$15L = v_o ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o ) + \frac{a}{2} ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o )^2 \ ;$

Используя [1] :

$15L = \frac{35v_o^2}{2a} + 15 v_o t_o + \frac{ 25 a t_o^2 }{8} = 15 v_o t_o + 15 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$

$\frac{35v_o^2}{2a} = \frac{ 35 a t_o^2 }{8} \ ;$

$4 \frac{v_o^2}{a} = a t_o^2 \ ;$

$( \frac{ a t_o }{ v_o } )^2 = 4 \ ;$

$\frac{ a t_o }{ v_o } = 2 \ ;$

$a t_o = 2 v_o \ ;$

Скорость в конце прохождения всего состава, учитывая [3] :

$v = v_o + a t = v_o + a ( \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o ) =$

$= v_o + 5v_o + 3.5 a t_o = 6 v_o + 3.5 \cdot 2 v_o = 13 v_o \ ;$



ОТВЕТ:    $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$

Answer 2

ТРЕТІЙ СПОСОБЪ:

Сдѣлаемъ дополнительныя построенія въ пространствѣ и во времени. Пусть длина вагона равна    $L \ .$    Пусть передъ тѣмъ, какъ передняя точка локомотива равняется съ наблюдателемъ – поѣздъ неограниченное время ужѣ ѣдетъ съ тѣмъ же ускореніемъ. За начало отсчета времени примемъ тотъ моментъ, когда скорость поѣзда была равна нулю. Въ такомъ случаѣ уравненіе движенія поѣзда упростится и не будетъ содержать начальной скорости, однако, когда передняя точка локомотива поравняется съ наблюдателемъ – поѣздъ ужѣ проѣдетъ нѣкоторое разстояніе    $xL \ .$

Время    $t_o$    въ это мгновеніе можно выразить, какъ:

$xL = \frac{at_o^2}{2} \ ;$

$t_o = \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$      [1]

Аналогично имѣемъ время    $t_1 \ ,$    когда проѣдетъ локомотивъ:

$t_1 = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } \ ;$

Время    $t_6 \ ,$    когда проѣдетъ почти вѣсь поѣздъ, но всё жъ пока-таки безъ шести вагоновъ:

$t_6 = \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } \ ;$

Время    $t \ ,$    когда въ концѣ концовъ проѣдетъ вѣсь поѣздъ:

$t = \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } \ ;$      [2]

Изъ равенства времёнъ, имѣющагося въ условіи:

$t - t_6 = t_1 - t_o \ ;$

$\sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$

$\sqrt{ x + 21 } - \sqrt{ x + 15 } = \sqrt{ x + 1 } - \sqrt{x} \ ;$

$2x + 36 - 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } = 2x + 1 - 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } \ ;$

$35 + 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } \ ;$

$1225 + 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } + 4 x^2 + 4x = 4 ( x^2 + 36x + 315 ) \ ;$

$140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 140x + 35 \ ;$

$4 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 4x + 1 \ ;$

$16x^2 + 16x = 16x^2 + 8x + 1 \ ;$

$8x = 1 \ ;$

$x = \frac{1}{8} \ ;$

Изъ выраженій [1] и [2] съ числовымъ значеніемъ    $x$    ужѣ и слѣдуетъ отвѣтъ на вопросъ задачи:

$\frac{v}{v_o} = \frac{at}{at_o} = \frac{t}{t_o} = \frac{ \sqrt{ 2L(x+21)/a } }{ \sqrt{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ 2L(x+21)/a }{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ x + 21 }{ x } } = \\\\\\ = \sqrt{ 1 + \frac{21}{x} } = \sqrt{ 1 + \frac{21}{1/8} } = \sqrt{ 1 + 21 \cdot 8 } = \sqrt{ 169 } = 13 \ ;$


ОТВѢТЪ :    $\frac{v}{v_o} = 13 \ ;$