Question

Баллон емкостью 50 л заполнен водородом при температуре 27 по Цельсию и давлении 4*10^6 Па. Сколько баллонов потребуется для заполнения аэростатом объемом 840 м^3, если при 7 по Цельсию давление в нем должно быть 10^5 Па? Желательно с приведением формул и объяснением.Заранее спасибо.

Answer 1

Задача мне кажется не такой простой. Её можно легко решить на уровне "подставить числа в нужную формулу", но надо внимательно смотреть на протекающие процессы.

Посчитаем количество вещества ν2, необходимое для заполнения аэростата. По уравнению Клапейрона-Менделеева:
p2*V2 = ν2*R*T2, где
p2 = 10^5 Па – требуемое в аэростате давление;
V2 = 840 м³ – объём аэростата;
R = 8,314 Дж/(моль*К) – универсальная газовая постоянная;
T2 = 7 °C = 280 К – температура водорода в аэростате.
Отсюда:
ν2 = p2*V2/(R*T2) = 10^5 * 840 / (8,314 * 280) ≈ 36084 моль.

Определим, сколько моль водорода содержится в одном баллоне. Это не совсем важно в задаче, но для ориентировки полезно посчитать. По уравнению Клапейрона-Менделеева:
p*V = ν*R*T, где
p = 4*10^6 Па – давление в одном баллоне;
V = 50 л = 0,05 м³ – объём баллона;
R = 8,314 Дж/(моль*К) – универсальная газовая постоянная;
T = 27 °C = 300 К – температура водорода в баллоне.
Отсюда:
ν = p*V/(R*T) = 4*10^6 * 0,05 / (8,314 * 300) ≈ 80,2 моль.

Баллоны смогут отдавать газ до тех пор, пока давление в них не сравняется с давлением в аэростате. Пусть аэростат абсолютно жёсткий, и его объём что после заправки, что на рабочей высоте равен 840 м³. Заправка газом, конечно же, при температуре 27 °C, поэтому при подъёме на рабочую высоту газ изохорно охлаждается. Тогда выполняется закон Шарля: во сколько раз газ охладился (300 К / 280 К = 1,071), во столько же раз упало давление в аэростате.
Раз при его работе в нём давление 10^5 Па, то сразу после заправки должно быть 1,071*10^5 Па. Поправка оказалась не такой большой, но важно понимать, что она имеет место.

Значит баллоны будут "разряжаться" (отдавать водород) до того, пока в них давление не упадёт до 1,071*10^5 Па. То есть оно упадёт на Δp = (4*10^6 - 1,071*10^5) = 3,9*10^6 Па. Тогда отданное одним баллоном количество вещества Δν определим из уравнения Клапйрона–Менделеева:
Δp*V = Δν*R*T
Δν = Δp*V / (R*T) ≈ 78 моль.

Чтобы запихнуть в аэростат все 36084 молей водорода надо взять:
36084 / 78 ≈ 462,4.
Округляем в большую сторону (иначе немного не хватет), то есть потребуется 463 баллона.

К слову, при решении без поправки на падение давления при охлаждении газа в аэростате получится 461,5, т.е. 462 баллона – одного не хватит. Немного, но всё же! 

Answer 2

Для решения этой задачи, вам понадобится закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.

Закон Бойля-Мариотта утверждает, что для данного количества газа при постоянной температуре его давление обратно пропорционально его объему:

$P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2$

где $P_1$ и $V_1$ - исходные давление и объем газа, $P_2$ и $V_2$ - конечное давление и объем газа.

Уравнение состояния идеального газа:

$PV = nRT$

где $P$ - давление газа, $V$ - объем газа, $n$ - количество вещества (в молях), $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура в абсолютной шкале (Кельвины).

Для решения задачи переведем все температуры в абсолютную шкалу (Кельвины):

Температура 27°C = 27 + 273.15 = 300.15 K Температура 7°C = 7 + 273.15 = 280.15 K

Исходные данные для первого баллона:

Исходное давление, $P_1 = 4 \times 10^6$ Па Исходный объем, $V_1 = 50$ л = 0.05 м³ Температура, $T_1 = 300.15$ K

Мы хотим найти количество баллонов ($n$), которые нужны для заполнения аэростата объемом $V_2 = 840$ м³ при давлении $P_2 = 10^5$ Па и температуре $T_2 = 280.15$ K.

Давайте рассчитаем количество вещества ($n$) в первом баллоне:

$n = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{RT_1}}$

Теперь рассчитаем количество вещества ($n_2$) в аэростате:

$n_2 = \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{RT_2}}$

Найдем необходимое количество баллонов ($N$) для заполнения аэростата:

$N = \frac{{n_2}}{{n}}$

Теперь проведем вычисления:

$n = \frac{{4 \times 10^6 \cdot 0.05}}{{8.314 \cdot 300.15}} \approx 63.80 \, \text{моль}$ $n_2 = \frac{{10^5 \cdot 840}}{{8.314 \cdot 280.15}} \approx 44.48 \, \text{моль}$ $N = \frac{{44.48}}{{63.80}} \approx 0.698$

Ответ: около 0.698 баллонов, но так как вы не можете использовать часть баллона, вам понадобится целое количество баллонов, т.е. 1 баллон для заполнения аэростата.