Question

При повышении температуры идеального газа на 10 К, средняя квадратичная скорость его молекул увеличилась с 100 м/с до 140 м/с. На сколько кельвинов надо поднять температуру газа, чтобы эта скорость увеличилась с 200 м/с до 240 м/с?

Answer 1

У нас в задаче 4 состояния газа (со скоростью молекул 100, 140, 200, 240 м/с) – дадим им соответствующие инжексы "1", "2", "3", "4".

Температура идеального газа пропорциональна средней квадратичной скорости движения молекул во второй степени:
$T \sim V^2$
Значит
$\dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{V_1^2}{V_2^2} \\\\ T_2 = T_1\dfrac{V_2^2}{V_1^2} \\\\ T_2 = T_1\dfrac{140^2}{100^2} \\\\ T_2 = 1,96T_1$
При этом первая температура меньше второй на величину ΔT₁₂ = 10 К, значит:
$T_1 = T_2-\Delta T_{12} \\\\ T_1 = 1,96T_1-\Delta T_{12} \\\\ 0,96T_1=\Delta T_{12} \\\\ T_1= \dfrac{\Delta T_{12}}{0,96}$

Температуры в состояниях 1 и 3 относятся как:
$\dfrac{T_1}{T_3}=\dfrac{V_1^2}{V_3^2} \\\\ T_3 = T_1\dfrac{V_3^2}{V_1^2} \\\\ T_3 = \dfrac{\Delta T_{12}}{0,96} \cdot \dfrac{200^2}{100^2} \\\\ T_3 = \dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96}$

Температуры в состояниях 3 и 4 относятся как:
$\dfrac{T_3}{T_4}=\dfrac{V_3^2}{V_4^2} \\\\ T_4 = T_3\dfrac{V_4^2}{V_3^2} \\\\ T_4 = \dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \cdot \dfrac{240^2}{200^2} \\\\ T_4 = \dfrac{5,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96}$

Разница температур в состояниях 3 и 4:
$\Delta T_{34}=T_4-T_3 \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{5,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96}-\dfrac{4\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{1,76\cdot\Delta T_{12}}{0,96} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{11}{6}\cdot\Delta T_{12} \\\\ \Delta T_{34}=\dfrac{11}{6}\cdot 10\;K \\\\ \Delta T_{34}\approx18,3\;K$

Ответ: 18,3 К.

Answer 2

Для идеального газа средняя квадратичная скорость молекул связана с температурой по следующей формуле:

v = √(3 * k * T / m)

где: v - средняя квадратичная скорость молекул газа, k - постоянная Больцмана (приближенное значение k ≈ 1.38 * 10^-23 Дж/К), T - абсолютная температура газа в кельвинах, m - масса одной молекулы газа.

Для начального состояния идеального газа:

v1 = 100 м/с T1 - начальная температура в кельвинах.

Из условия:

v2 = 140 м/с T2 - температура после повышения на 10 К.

Мы можем записать соотношения для начального и конечного состояний газа:

v1 = √(3 * k * T1 / m) v2 = √(3 * k * T2 / m)

Далее, для конечного состояния, где v3 = 200 м/с:

v3 = 200 м/с T3 - температура после повышения на ΔT К.

Из условия:

v4 = 240 м/с T4 - температура после повышения на 2 * ΔT К.

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно определить ΔT, которая позволяет нам перейти от v3 до v4.

Мы знаем, что v = √(3 * k * T / m), поэтому:

Δv = v4 - v3 Δv = √(3 * k * T4 / m) - √(3 * k * T3 / m)

Теперь подставим значения для v3 и v4:

40 м/с = √(3 * k * T4 / m) - √(3 * k * T3 / m)

Теперь рассмотрим температурные изменения:

ΔT1 = T2 - T1 (из условия, где T1 - начальная температура, а T2 - температура после повышения на 10 К) ΔT2 = T4 - T3 (из условия, где T3 - температура после повышения на ΔT, а T4 - температура после повышения на 2 * ΔT)

Тогда можем записать:

ΔT2 = 2 * ΔT1

Теперь вернемся к уравнению:

40 м/с = √(3 * k * T4 / m) - √(3 * k * T3 / m)

и перепишем его, используя ΔT1 и ΔT2:

40 м/с = √(3 * k * (T3 + 2 * ΔT1) / m) - √(3 * k * T3 / m)

Давайте представим ΔT1 как ΔT и решим уравнение:

40 м/с = √(3 * k * (T3 + 2 * ΔT) / m) - √(3 * k * T3 / m)

Перенесем одно слагаемое на другую сторону:

√(3 * k * (T3 + 2 * ΔT) / m) = √(3 * k * T3 / m) + 40 м/с

Возведем обе части уравнения в квадрат:

3 * k * (T3 + 2 * ΔT) / m = 3 * k * T3 / m + 2 * 40 * √(3 * k * T3 / m) + 40^2

Раскроем скобки:

3 * k * T3 + 6 * k * ΔT = 3 * k * T3 + 2 * 40 * √(3 * k * T3 / m) + 1600

Теперь сократим общие слагаемые:

6 * k * ΔT = 2 * 40 * √(3 * k * T3 / m) + 1600

Теперь выразим ΔT:

ΔT = (2 * 40 * √(3 * k * T3 / m) + 1600) / (6 * k)

Известные значения:

k ≈ 1.38 * 10^-23 Дж/К (постоянная Больцмана), T3 - температура после повышения на ΔT, m - масса одной молекулы газа.

Теперь осталось только подставить известные значения и вычислить ΔT:

ΔT = (2 * 40 * √(3 * 1.38 * 10^-23 * T3 / m) + 1600) / (6 * 1.38 * 10^-23)

ΔT ≈ (2 * 40 * √(3 * 1.38 * 10^-23 * T3 / m) + 1600) / 8.28 * 10^-23

Теперь подставим известные значения скорости и температуры и рассчитаем ΔT:

v3 = 200 м/с T3 - температура после повышения на ΔT К.

ΔT ≈ (2 * 40 * √(3 * 1.38 * 10^-23 * T3 / m) + 1600) / 8.28 * 10^-23 ΔT ≈ (2 * 40 * √(3 * 1.38 * 10^-23 * T3 / (2 * m)) + 1600) / 8.28 * 10^-23 ΔT ≈ (2 * 40 * √(3 * 1.38 * 10^-23 * T3 / (2 * 28.97 * 10^-3))