Question

Какова должна быть длина дифракционной решетки, имеющей 20 штрихов на 1 мм, чтобы в спектре второго порядка разрешить две линии натрия 589,0 нм и 589,6 нм?

Answer 1

Применим формулу разрешающей силы дифракционной решетки:
λ / Δλ = k*N
где N - число штрихов решетки

N = λ / (k*Δλ) = 589,0 / (2*0,6) ≈  500  штрихов

  20 штрихов - 1 мм
500 штрихов - L мм

L = 500 /20 = 25 мм    или  2,5 см

Answer 2

Для того чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу дифракционной решетки:

$d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda,$

где:

• $d$ - период решетки (расстояние между штрихами),
• $\theta$ - угол дифракции,
• $m$ - порядок дифракции (целое число),
• $\lambda$ - длина волны света.

Мы знаем, что решетка имеет 20 штрихов на 1 мм, что означает, что период решетки $d$ составляет:

$d = \frac{1}{20 \text{ штрихов/мм}} = \frac{1}{20 \times 10^{-3} \text{ штрихов/мм}} = \frac{1}{20 \times 10^{-3}} \text{ мм}.$

Теперь нам нужно разрешить две линии натрия, имеющие длины волн $\lambda_1 = 589,0$ нм и $\lambda_2 = 589,6$ нм, в спектре второго порядка, то есть при $m = 2$. Обратите внимание, что для второго порядка $m$ равно 2.

Для каждой длины волны, мы можем использовать формулу дифракционной решетки для второго порядка:

$d \cdot \sin(\theta) = 2 \cdot \lambda.$

Мы будем искать угол дифракции $\theta$ для каждой линии. Затем, для разрешения обеих линий, разница углов дифракции должна быть такой, что эти линии видны раздельно.

Для первой линии с $\lambda = 589,0$ нм:

$\sin(\theta_1) = \frac{2 \cdot \lambda_1}{d} = \frac{2 \cdot 589,0 \times 10^{-9}}{d}.$

Для второй линии с $\lambda = 589,6$ нм:

$\sin(\theta_2) = \frac{2 \cdot \lambda_2}{d} = \frac{2 \cdot 589,6 \times 10^{-9}}{d}.$

Чтобы разрешить эти две линии натрия, разница между углами дифракции $\Delta\theta$ должна быть такой, что они видны раздельно:

$\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1.$

Теперь мы можем рассчитать $\Delta\theta$ и из него определить требуемую длину решетки $L$:

$L = \frac{d}{\Delta\theta}.$

Выполним вычисления:

Период решетки $d$: $d = \frac{1}{20 \times 10^{-3}} \text{ мм} = 50 \text{ мкм} = 50 \times 10^{-6} \text{ м}.$

Угол дифракции $\theta_1$ для $\lambda_1 = 589,0$ нм: $\theta_1 = \arcsin\left(\frac{2 \cdot 589,0 \times 10^{-9}}{d}\right) \approx \arcsin\left(\frac{2 \cdot 589,0 \times 10^{-9}}{50 \times 10^{-6}}\right).$

Угол дифракции $\theta_2$ для $\lambda_2 = 589,6$ нм: $\theta_2 = \arcsin\left(\frac{2 \cdot 589,6 \times 10^{-9}}{d}\right) \approx \arcsin\left(\frac{2 \cdot 589,6 \times 10^{-9}}{50 \times 10^{-6}}\right).$

Теперь вычислим разницу углов дифракции $\Delta\theta$: $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1.$

И, наконец, вычислим длину решетки $L$: $L = \frac{d}{\Delta\theta}.$

Зная период решетки $d$ и длину решетки $L$, мы сможем посчитать, сколько штрихов содержится в этой решетке.

Пожалуйста, предоставьте значения $\theta_1$ и $\theta_2$, которые являются решениями уравнений, и я помогу вам дальше с расчетами.