Question

В колебательном контуре происходят гармонические колебания с частотой 6 МГц. Индуктивность катушки, входящей в контур равна 9 мкГн. Найти емкость конденсатора, входящего в колебательный контур.

Answer 1

Дано: v = 6 * 10⁶ Гц, L = 9 * 10⁻⁶ Гн

Найти: C - ?

Решение:

По формуле Томсона:

$T = 2\pi \sqrt{LC} \ ; \ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi \nu \ \rightarrow \ T = \dfrac{1}{\nu} \\ \\ \dfrac{1}{\nu} = 2\pi \sqrt{LC} \ ; \ \dfrac{1}{\nu ^{2}} = 4\pi ^{2}LC \ \rightarrow \ C = \dfrac{1}{4\pi ^{2}L\nu ^{2}} \\ \\ C = \dfrac{1}{4 * 3.14^{2} * 9 * 10^{-6} * (6*10^{6})^{2}} \approx 7.8 * 10^{-11} \ [\Phi ] = 78 \ [_{\Pi} \Phi]$

Ответ: C = 78 пФ

Answer 2

Для нахождения емкости конденсатора в колебательном контуре, используем формулу для резонансной частоты колебаний:

$f_{\text{рез}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

где $f_{\text{рез}}$ - резонансная частота колебаний, $L$ - индуктивность катушки, $C$ - емкость конденсатора.

Мы знаем резонансную частоту $f_{\text{рез}} = 6 \, \text{МГц} = 6 \times 10^6 \, \text{Гц}$ и индуктивность $L = 9 \, \mu\text{Гн} = 9 \times 10^{-6} \, \text{Гн}$.

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение для емкости $C$:

$6 \times 10^6 = \frac{1}{2\pi \sqrt{(9 \times 10^{-6})C}}$

Для удобства, давайте сначала избавимся от дроби:

$2\pi \sqrt{(9 \times 10^{-6})C} = \frac{1}{6 \times 10^6}$

Теперь выразим емкость $C$:

$\sqrt{(9 \times 10^{-6})C} = \frac{1}{2\pi \times 6 \times 10^6}$

$(9 \times 10^{-6})C = \left(\frac{1}{2\pi \times 6 \times 10^6}\right)^2$

$C = \frac{\left(\frac{1}{2\pi \times 6 \times 10^6}\right)^2}{9 \times 10^{-6}}$

Теперь вычислим значение $C$:

$C = \frac{1}{(2\pi \times 6 \times 10^6)^2 \times 9 \times 10^{-6}}$

$C \approx \frac{1}{2.7 \times 10^{17}}$

$C \approx 3.7 \times 10^{-18} \, \text{Фарад}$

Таким образом, емкость конденсатора, входящего в колебательный контур, составляет приблизительно $3.7 \times 10^{-18}$ Фарад.