Question

Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 1 мкФ та котушки індуктивнісю 4 Гн. Амплітуда коливань заряду на конденсаторі становить 100 мкКл. Запишіть залежність заряду від часу q(t). Значення заряду на початку було максимальне.

Answer 1

q(t) = q₀ * cos (ω*t)

ω = 1 / √(L * C) = 1 / √(1*10⁻⁶ Ф * 4 Гн) = 500 рад/с

q(t) = 1*10⁻⁴ * cos (500 * t)

Answer 2

Для коливального контуру можемо використовувати рівняння коливань. Запишемо рівняння для заряду на конденсаторі q(t):

$q(t) = q_{\text{max}} \cdot \cos(\omega t + \phi),$

де:

• $q(t)$ - заряд на конденсаторі в момент часу $t$,
• $q_{\text{max}}$ - максимальний заряд на конденсаторі, він в нас становить 100 мкКл,
• $\omega$ - циклічна частота коливань, $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,
• $t$ - час,
• $\phi$ - фазовий кут, який визначає початкову фазу коливань.

Значення $\omega$ можемо обчислити, використовуючи дані про ємність конденсатора $C$ та індуктивність котушки $L$:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$

Підставимо значення $C$ та $L$:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{(1 \times 10^{-6}) \times (4 \text{ Гн})}}$

$\omega = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}}$

$\omega = \frac{1}{2 \times 10^{-3}}$

$\omega = 500 \text{ рад/с}.$

Тепер, щоб знайти фазовий кут $\phi$, ми знаємо, що на початку $t = 0$ заряд на конденсаторі максимальний $q_{\text{max}}$, тобто $q(0) = q_{\text{max}}$. Підставимо ці значення в рівняння коливань:

$q(0) = q_{\text{max}} \cdot \cos(\omega \cdot 0 + \phi) = q_{\text{max}} \cdot \cos(\phi).$

Оскільки на початку заряд максимальний, $\cos(\phi) = 1$. Тоді:

$q_{\text{max}} = q_{\text{max}} \cdot 1$

$q_{\text{max}} = q_{\text{max}}.$

Отже, $\cos(\phi) = 1$, звідки $\phi = 0$.

Тепер, маючи значення $q_{\text{max}}$ і $\phi$, можемо записати залежність заряду від часу $q(t)$:

$q(t) = 100 \times 10^{-6} \cdot \cos(500 \cdot t).$