Question

Дано уравнение гармонического колебания у = 2sin(πt/2 + π/4). Найдите амплитуду, период, частоту, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, также значение максимальной скорости и скорости, а момент времени t = Т/4

Answer 1

А=2, цикл.ч. w=π/2 p/c, период T=2π/w=2π*2/π=4 c, частота f=1/T=0.25 Гц, нач.фаза Фнач=π/4
Скороcть - первая производная у'=(2*π/2)* cos(π*t/2+π/4), макс.у'= π=3.14 м/с, у'(4/4)=3.14*cos(π/2+π/4)=-3.14*√2/2=-2.22м/с (если у в метрах)

Answer 2

Данное гармоническое колебание задано уравнением:

у = 2sin(πt/2 + π/4)

Где: у - значение гармонического колебания в момент времени t, t - время.

1. Амплитуда (A): Амплитуда колебаний представляет собой максимальное значение колебания относительно равновесного положения. В данном случае, амплитуда равна 2.

2. Период (T): Период колебания представляет собой время, за которое одно полное колебание повторяется. Чтобы найти период, нужно найти значение времени t, при котором аргумент синуса увеличивается на 2π (один полный оборот). В данном случае, аргумент синуса πt/2 + π/4 должен быть равен 2π:

πt/2 + π/4 = 2π

Решим уравнение:

πt/2 = 2π - π/4

t/2 = 2 - 1/4

t = 4 - 1/2

t = 7/2

Таким образом, период колебаний (T) равен 7/2.

3. Частота (f): Частота колебания представляет собой количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Частоту можно найти, используя формулу:

f = 1 / T

где T - период. В данном случае:

f = 1 / (7/2) = 2/7

4. Циклическая частота (ω): Циклическая частота представляет собой угловую частоту колебаний и определяется как:

ω = 2π / T

где T - период. В данном случае:

ω = 2π / (7/2) = 4π / 7

5. Начальная фаза (φ): Начальная фаза колебаний определяет, насколько сдвинуты колебания во времени относительно начального положения. В данном случае, фаза равна π/4.

6. Максимальная скорость (V_max): Максимальная скорость достигается в момент времени, когда колебание проходит через равновесное положение (у = 0). Это происходит при значении аргумента синуса равном πt/2 + π/4 = π/2.

Таким образом, при t = π/2, значение скорости будет максимальным:

v = dу/dt = d(2sin(πt/2 + π/4))/dt v = 2 * (π/2)cos(πt/2 + π/4)

Подставим t = π/2:

v = 2 * (π/2)cos(π/2 + π/4) v = 2 * (π/2)cos(3π/4) v = 2 * (π/2) * (-sqrt(2)/2) v = -π * sqrt(2)

Таким образом, максимальная скорость равна -π * sqrt(2).

7. Скорость в момент времени t = Т/4:

v = 2 * (π/2)cos(πt/2 + π/4)

Подставим t = Т/4 = (7/2)/4 = 7/8:

v = 2 * (π/2)cos(π(7/8)/2 + π/4) v = 2 * (π/2)cos(7π/16 + π/4)

Теперь можно вычислить значение скорости в момент времени t = 7/8.