Question

Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3 (С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение áаñ тела за этот промежу­ток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

Answer 1

Ускорение есть 2я производная от пути:
а=s"=2C+6Dt, по условию 2*0.1+6*0.03*t=2, 0.18t=1.8, t=10 c. a(t=0)=0.2, a(t=10)=2,
<a>=(0.2+2)/2=1.1 м/с²

Answer 2

Для решения этой задачи, мы будем использовать данные из уравнения движения тела:

s = A + Bt + Ct^2 + Dt^3,

где: s - пройденный путь (м), t - время после начала движения (с), A, B, C и D - постоянные коэффициенты, даны в условии задачи.

1. Найдем время, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с^2.

Ускорение (a) определяется как производная скорости (v) по времени (t): a = dv/dt.

Скорость (v) определяется как производная пройденного пути (s) по времени (t): v = ds/dt.

Мы знаем, что ускорение равно второй производной пройденного пути по времени:

a = d^2s/dt^2.

Для нашего уравнения движения: s = A + Bt + Ct^2 + Dt^3.

Найдем первую и вторую производные пройденного пути по времени:

v = ds/dt = B + 2Ct + 3Dt^2, a = d^2s/dt^2 = 2C + 6Dt.

Теперь подставим значение ускорения (a) равное 2 м/с^2 и найдем время (t):

2C + 6Dt = 2.

Поскольку C = 0.1 м/с^2 и D = 0.03 м/с^3 (дано в условии), подставим значения и решим уравнение:

2(0.1) + 6(0.03)t = 2, 0.2 + 0.18t = 2, 0.18t = 1.8, t = 1.8 / 0.18, t = 10 секунд.

Таким образом, время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с^2, составляет 10 секунд.

2. Теперь найдем среднее ускорение (a_ср) тела за этот промежуток времени.

Среднее ускорение (a_ср) за заданный промежуток времени можно найти, разделив изменение скорости на соответствующий интервал времени:

a_ср = Δv / Δt.

Мы уже знаем выражение для скорости (v):

v = B + 2Ct + 3Dt^2.

Для начального момента времени (t_1 = 0) и конечного момента времени (t_2 = 10 секунд) изменение скорости (Δv) будет:

Δv = v(t_2) - v(t_1) = v(10) - v(0).

Подставим значения скорости в это выражение:

Δv = (B + 2C(10) + 3D(10)^2) - (B + 2C(0) + 3D(0)^2), Δv = (B + 20C + 300D) - B, Δv = 20C + 300D.

Теперь найдем изменение времени (Δt):

Δt = t_2 - t_1 = 10 - 0 = 10 секунд.

Теперь можем найти среднее ускорение (a_ср):

a_ср = Δv / Δt, a_ср = (20C + 300D) / 10, a_ср = 2C + 30D.

Подставим значения C = 0.1 м/с^2 и D = 0.03 м/с^3:

a_ср = 2(0.1) + 30(0.03), a_ср = 0.2 + 0.9, a_ср = 1.1 м/с^2.

Таким образом, среднее ускорение тела за этот промежуток времени составляет 1.1 м/с^2.