Question

С лодки массой 2m, движущейся со скоростью v, прыгает мальчик массой 0,5m в горизонтальном направлении со скоростью 7v. Чему равна скорость лодки после прыжка мальчика, если он прыгает с кормы в сторону, противоположную движению лодки?

Answer 1

Импульс лодки с мальчиком до прыжка:

p1 = (2m+0,5m)*V = 2,5*m*V

Импульс системы после прыжка мальчика:

p2 = 2m*U - 0,5m*7V

или

p2 = 2m*U - 3,5m*V

По закону сохранения импульса:

p2 = p1

2m*U - 3,5m*V = 2,5*m*V

2*U = 6*V

U = 3*V

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса. Импульс - это произведение массы тела на его скорость.

Изначально, до прыжка мальчика, общий импульс системы лодка + мальчик равен: $P_{\text{начальный}} = m_{\text{лодки}} \cdot v_{\text{лодки}} + m_{\text{мальчика}} \cdot v_{\text{мальчика}}.$

Где: $m_{\text{лодки}} = 2m$ - масса лодки, $v_{\text{лодки}} = v$ - скорость лодки, $m_{\text{мальчика}} = 0,5m$ - масса мальчика, $v_{\text{мальчика}} = -7v$ - скорость мальчика (знак минус указывает на то, что мальчик прыгает в противоположном направлении движения лодки).

После прыжка мальчика, общий импульс системы будет равен: $P_{\text{конечный}} = m_{\text{лодки}} \cdot v_{\text{лодки\_конечный}} + m_{\text{мальчика}} \cdot v_{\text{мальчика\_конечный}}.$

Из закона сохранения импульса, общий импульс системы до прыжка равен общему импульсу системы после прыжка: $P_{\text{начальный}} = P_{\text{конечный}}.$

Теперь подставим значения: $m_{\text{лодки}} \cdot v + m_{\text{мальчика}} \cdot (-7v) = m_{\text{лодки}} \cdot v_{\text{лодки\_конечный}} + m_{\text{мальчика}} \cdot v_{\text{мальчика\_конечный}}.$

Теперь найдем $v_{\text{лодки\_конечный}}$, скорость лодки после прыжка мальчика: $2m \cdot v - 0,5m \cdot 7v = 2m \cdot v_{\text{лодки\_конечный}} + 0,5m \cdot v_{\text{мальчика\_конечный}}.$

Упростим уравнение: $2mv - 3.5mv = 2mv_{\text{лодки\_конечный}} + 0.5m v_{\text{мальчика\_конечный}}.$

$-1.5mv = 2mv_{\text{лодки\_конечный}} + 0.5m v_{\text{мальчика\_конечный}}.$

Теперь найдем $v_{\text{лодки\_конечный}}$, представив массу мальчика в терминах массы лодки: $v_{\text{лодки\_конечный}} = \frac{-1.5mv - 0.5m v_{\text{мальчика\_конечный}}}{2m}.$

Теперь заменим $m_{\text{мальчика}}$ на $0.5m$ и $v_{\text{мальчика\_конечный}}$ на $7v$: $v_{\text{лодки\_конечный}} = \frac{-1.5mv - 0.5m \cdot 7v}{2m}.$

Упростим выражение: $v_{\text{лодки\_конечный}} = \frac{-1.5mv - 3.5mv}{2m}.$

$v_{\text{лодки\_конечный}} = \frac{-5mv}{2m}.$

Масса лодки $2m$ сократится, и мы получим: $v_{\text{лодки\_конечный}} = -\frac{5}{2}v.$

Таким образом, скорость лодки после прыжка мальчика составит $-\frac{5}{2}v$ (в противоположную сторону движения лодки).