Question

Автомобиль и мотоцикл начинают равноускоренное движение из состояния покоя по прямой дороге. Через некоторое время автомобиль проезжает мимо дуба, разогнавшись до скорости υ1. Мотоцикл, достигнув скорости υ2 = 10 м/с, поравнялся с тем же дубом, когда автомобиль уже находился у берёзы и двигался со скоростью υ3 = 40 м/с. Определите с какой скоростью υ4 мотоцикл проедет мимо берёзы. Чему равна скорость υ1?

Answer 1

Нам будут нужны две формулы из курса механики:

V=at  (1)    и       S=(at^2)/2 (2), где

a – ускорение движущегося тела

t – время

V - скорость

S – пройденный путь.

Из (1) получаем: a = V/t.

Тогда в момент времени t (когда мотоцикл поравняется с дубом, а автомобиль с березой) получаем:

a_avt/a_mot = (V_avt/t) *  (t/V_mot) =40/10=4, где a_avt - ускорение с которым движется автомобиль, a_mot - ускорение с которым движется мотоцикл и соответственно V_avt и V_mot - скорости автомобиля и мотоцикла.

Таким образом, ускорение с которым движется автомобиль в 4 раза больше ускорения с которым движется мотоцикл.

Из формулы (2) получим: t= √((2*S)/a)

Таким образом, один и тот же путь S автомобиль и мотоцикл пройдут за время t_a  t_m, которые соотносятся как:

t_a/t_m = √(2S/a_avt ) / √(2S/a_mot ) = √(a_mot/a_avt ) = √(1/4) = 1/2

Таким образом, до березы мотоцикл доедет за время в два раза большее, чем автомобиль, двигаясь при этом с ускорением в четыре раза меньшим, чем автомобиль, т.е.

ν4= a_mot * t_mot* = a_avt/4 * 2* t_avt =  (a_avt * t_avt ) / 2 = 40/2 = 20 м/с

Аналогично рассуждая, для V1 получим

ν1= a_avt * t_avt* = 4a_mot * t_mot/2 =  2a_mot * t_mot = 2 *10 = 20 м/сек.

Ответ : ν4  = 20 м/сек  , ν1  = 20 м/сек.

Answer 2

Давайте обозначим неизвестные величины и составим уравнения движения для автомобиля и мотоцикла.

Пусть:

• $υ_1$ - скорость автомобиля, когда он проезжает мимо дуба,
• $υ_2 = 10 \, \text{м/с}$ - скорость мотоцикла, когда он достигает дуба,
• $υ_3 = 40 \, \text{м/с}$ - скорость автомобиля, когда он находится у березы,
• $υ_4$ - скорость мотоцикла, когда он проезжает мимо березы.

Пусть также:

• $t_1$ - время, за которое автомобиль разгоняется до скорости $υ_1$,
• $t_2$ - время, за которое мотоцикл разгоняется до скорости $υ_2$ и догоняет автомобиль у дуба,
• $t_3$ - время, за которое автомобиль достигает скорости $υ_3$ (от дуба до березы).

Для равноускоренного движения применим уравнение: $υ = u + at,$ где $υ$ - конечная скорость, $u$ - начальная скорость, $a$ - ускорение и $t$ - время.

Для автомобиля: $υ_1 = 0 + a \cdot t_1,$ $υ_3 = 0 + a \cdot t_3.$

Для мотоцикла: $υ_2 = 0 + a \cdot t_2,$ $υ_4 = 0 + a \cdot t_4.$

Теперь нам нужно найти связь между $t_1$, $t_2$ и $t_3$ для того, чтобы выразить $t_4$.

Когда мотоцикл догоняет автомобиль у дуба, он уже проехал определенное расстояние, которое автомобиль проходит со скоростью $υ_3$ за время $t_3$. Таким образом, мы можем записать:

$υ_2 \cdot t_2 = υ_3 \cdot t_3.$

Теперь выразим $t_3$ через $t_2$:

$t_3 = \frac{υ_2}{υ_3} \cdot t_2.$

Теперь мы можем выразить $υ_4$ через $t_2$ и $t_4$:

$υ_4 = a \cdot t_4.$

Мы также знаем, что расстояние, на котором мотоцикл догоняет автомобиль, равно расстоянию, которое автомобиль проходит от дуба до березы:

$υ_2 \cdot t_2 = υ_3 \cdot t_3.$

Теперь подставим $t_3 = \frac{υ_2}{υ_3} \cdot t_2$:

$υ_2 \cdot t_2 = υ_3 \cdot \left( \frac{υ_2}{υ_3} \cdot t_2 \right).$

Теперь сократим $υ_2$ и $υ_3$:

$t_2 = t_2.$