Question

Тело, брошенное под углом к горизонту, попадает в некоторую точку, расположенную на поверхности Земли, при двух разных значения угла бросания.В первом случае тело достигает высоты 10 м, а во втором 30 м. Под каким углом тело брошено в первый раз? До какой высоты поднялось бы тело, если бы его бросили вертикально вверх стой же по модулю скоростью?

Answer 1

Ответ:

30°, 40 м

Объяснение:

Если модуль скорости равен $v_0$, а угол к поверхности равен $\alpha$, то зависимость компонент скорости от времени (пока тело летит) следующая:

$\begin{cases}v_x(t)=v_{0x}=v_0\cos\alpha\\v_y(t)=v_{0y}-gt=v_0\sin\alpha-gt\end{cases}$

Зависимость координат от времени:

$\begin{cases}x(t)=v_{0x}t\\y(t)=v_{0y}t-\dfrac{gt^2}{2}\end{cases}$

Максимальная высота будет в момент времени $t=t^*$, когда $v_y(t^*)=0$; подставив его в уравнение для y(t), получаем зависимость высоты от угла бросания

$H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=h\sin^2\alpha$

Продолжительность полёта равна $2t^*$, подставляем её в выражение для x(t) и получаем дальность полёта

$L=\dfrac{v_0\sin2\alpha}{g}=l\sin2\alpha$

Пусть h выражено в метрах, тогда

$h\sin^2\alpha_1=10$, $h\sin^2\alpha_2=30$

Квадраты дальностей полёта должны быть равны:

$4l^2\sin^2\alpha_1\,(1-\sin^2\alpha_1)=4l^2\sin^2\alpha_2\,(1-\sin^2\alpha_2)\\\dfrac{10}h\left(1-\dfrac{10}h\right)=\dfrac{30}h\left(1-\dfrac{30}h\right)\\h-10=3h-90\\h=40$

h совпадает со значением высоты при бросании вертикально вверх

$40\sin^2\alpha_1=10\\\sin\alpha_1=\dfrac12\\\alpha_1=30^\circ$

Answer 2

Давайте рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Пусть в первом случае угол бросания равен α, а во втором случае угол бросания равен β. Также пусть тело брошено с начальной скоростью v.

1. Первый случай: Тело достигает высоты 10 м.

В этом случае, вертикальная компонента начальной скорости равна:

v_y1 = v * sin(α)

Мы также знаем, что высота тела на максимальной точке равна 10 м, и вертикальная скорость в этот момент становится равной нулю (так как тело временно останавливается перед изменением направления движения). Таким образом, можно записать:

v_y1 = 0

Максимальная высота тела при вертикальном броске равна:

h_max = v_y1^2 / (2 * g)

где g - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²). Подставляем v_y1 = 0:

h_max = 0^2 / (2 * g) = 0 м

Таким образом, в первом случае максимальная высота, которую достигнет тело, равна 10 м.

2. Второй случай: Тело достигает высоты 30 м.

Аналогично первому случаю, вертикальная компонента начальной скорости равна:

v_y2 = v * sin(β)

Мы также знаем, что высота тела на максимальной точке равна 30 м, и вертикальная скорость в этот момент становится равной нулю:

v_y2 = 0

Теперь мы можем использовать ту же формулу для максимальной высоты:

h_max = v_y2^2 / (2 * g)

Подставляем v_y2 = 0:

h_max = 0^2 / (2 * g) = 0 м

Таким образом, во втором случае максимальная высота, которую достигнет тело, равна 30 м.

Теперь найдем угол бросания α в первом случае:

10 м = v^2 * sin^2(α) / (2 * g)

Теперь найдем угол бросания β во втором случае:

30 м = v^2 * sin^2(β) / (2 * g)

Мы знаем, что углы α и β различаются. Пусть X = sin^2(α) и Y = sin^2(β), тогда у нас есть:

10 м = v^2 * X / (2 * g) 30 м = v^2 * Y / (2 * g)

Теперь мы можем поделить уравнения, чтобы избавиться от v^2:

30 м / 10 м = Y / X

3 = Y / X

Теперь нам нужно найти значения X и Y, которые удовлетворяют этому уравнению и являются квадратами синусов углов. Одним из таких решений является X = 1, Y = 3. Это означает, что:

sin^2(α) = 1 sin^2(β) = 3

Так как синус угла не может быть больше 1, это решение недействительно. Поэтому нет угла α, который привел бы к точке с высотой 10 м в первом случае.

Таким образом, ошибка в условии задачи. Тело не может быть брошено под углом к горизонту и достичь высоты 10 м.