Question

В сосуде, образованном двумя закреплёнными вертикальными трубами, площади сечений которых равны S_1 = 20S 1 ​ =20 см^2 2 и S_2 = 50S 2 ​ =50 см^2 2 , находятся два массивных поршня. Поршни соединены жёстким вертикальным стержнем. Пространство между поршнями заполнено водой. Система покоится. Нижний поршень находится на расстоянии h = 0{,}5h=0,5 м от стыка труб. Давление воды на нижний поршень равно p_2 = 80p 2 ​ =80 кПа. Определите суммарную массу системы «поршни + стержень + вода». Ответ дайте в килограммах. Атмосферное давление p_0 = 100p 0 ​ =100 кПа. Плотность воды \rho = 1000ρ=1000 кг/м^3 3 . Ускорение свободного падения g = 10g=10 Н/кг. Трение отсутствует.

Answer 1

Дано: S1 = 20см^2; S2=30см^3; h=0,5м; P2=70кПа; P0= 100кПа; p=1000кг/м^3; g=10H/кг.

Найти: сумму m(поршни+стержень+вода)

Решение:

Система находится в равновесии, значит сумма проекций всех внешних сил, действующих на неё равно нулю. Ось y направим вверх. Сила упругости стержня, внутр. сила и на равновесие не влияет. Весом воздуха пренебрежём.

Fa1 = pa * S1 - сила атмосферного давления на верхний поршень

Fa2 = pa * S2 - на нижний поршень

Fт1 = m1g, Fт2 = m2g - сила тяжести

По 3 закону Ньютона сила, с которой воздух действует на горизонтальный участок цилиндра равен по модулю силе, с которой участвует и действует на воздух внутри цилиндра, обозначим эту силу F.

Сила давления воздуха  Fв = p * S, где p - давление воздуха в цилиндре.

S = S1 - S2, Fв = F = p * (S1-S2)

Y. Fт1 + Fт2 + Fa1 + Fa2 + F = 0

  - m1g + m2g - pa * S1+ pa * S2 + p (S1-S2) = 0

   p(S1-S2) = pa*(S1-S2) + (m1+m2)g

   p = pa + (m1+m2)g/S1-S2

      p = pgh = 1000*10*0,5=5000 Па = 5кПа

   5000 = 100000 * 10(m1+m2)/0,002-0,003

    m1+m2 = 4,75 кг

     4,75кг - это сумма двух поршней.

    m(воды) = p * V

   V = 20см^2*30см^2= 600см^2 = 0,06 м^2

      m = 1000*0,06= 60кг - Масса воды

   4,75+60= 64,75 кг

Ответ: 64,75 кг.

Answer 2

Для определения суммарной массы системы "поршни + стержень + вода", мы можем воспользоваться принципом Архимеда и уравнением равновесия.

1. Найдем давление воды на верхний поршень (p_1). Давление на нижний поршень (p_2) равно 80 кПа, а высота h = 0,5 м.

Используем формулу для давления на глубине в жидкости: p = p_0 + \rho * g * h,

где p_0 - атмосферное давление, \rho - плотность воды, g - ускорение свободного падения, h - глубина.

Подставим значения: p_1 = 100 кПа + 1000 кг/м^3 * 10 Н/кг * 0,5 м = 100 кПа + 5000 кг/(м*с^2) = 100 кПа + 5000 Па = 105 кПа.

2. Найдем силу давления на каждый поршень.

Сила давления на поршень определяется как разность давлений на обе стороны поршня, умноженная на площадь сечения поршня: F = (p_1 - p_2) * S_1 = (105 кПа - 80 кПа) * 20 см^2 = 25 кПа * 20 см^2 = 500 кг * м / c^2.

3. Найдем силу, действующую на стержень.

Сила, действующая на стержень, равна силе давления на верхний поршень, так как они соединены жестким стержнем: F_st = F = 500 кг * м / c^2.

4. Найдем массу верхнего поршня (m_2).

m_2 = F / g, m_2 = 500 кг * м / c^2 / 10 Н/кг = 50 кг.

5. Найдем массу нижнего поршня (m_1).

m_1 = F / g, m_1 = 500 кг * м / c^2 / 10 Н/кг = 50 кг.

6. Найдем массу стержня (m_st), которая равна разности масс верхнего и нижнего поршней.

m_st = m_2 - m_1, m_st = 50 кг - 50 кг = 0 кг (при жестком соединении масса стержня обращается в ноль).

7. Найдем массу воды (m_вода), находящейся между поршнями. Это можно сделать, зная плотность воды и объем между поршнями.

Объем между поршнями (V) определяется как разность объемов сосудов, ограниченных поршнями: V = S_2 * h = 50 см^2 * 0,5 м = 25 дм^3 = 0,025 м^3.

Теперь найдем массу воды: m_вода = \rho * V, m_вода = 1000 кг/м^3 * 0,025 м^3 = 25 кг.

8. Наконец, найдем суммарную массу системы "поршни + стержень + вода":

m_системы = m_1 + m_2 + m_вода + m_st, m_системы = 50 кг + 50 кг + 25 кг + 0 кг = 125 кг.

Ответ: суммарная масса системы "поршни + стержень + вода" равна 125 кг.