Question

Заряд конденсатора в колебательном контуре меняется по закону q=Acos(пи*t), где А = 2 мкКл. Найдите энергию электрического поля конденсатора в момент времени, когда она равна энергии магнитного поля катушки. Индуктивность катушки равна 0.05 Гн.

Answer 1

Ответ:

3 пФ

Объяснение:

Уравнение колебаний:

q = A*cos (π*t)    

1)

Сила тока - первая производная от заряда:

i = q ' = - A*π*sin(π*t)

Амплитуда тока

I = A*π = 5*10⁻⁶*π   A

2)

Полная энергия:

W = L*I²/2 = 0,05*(5*10⁻⁶*π)² / 2 ≈ 6*10⁻¹² Дж = 6 пДж

Поскольку энергия магнитного поля равна энергии электрического поля, то

Wэл + W маг = W

2*Wэл = W

Wэл = W / 2 = 6 / 2 = 3 пФ

Answer 2

Для нахождения момента времени, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки, нужно приравнять эти энергии и решить уравнение для момента времени t.

Энергия электрического поля конденсатора (W_эл) определяется формулой:

W_эл = (1/2) * C * V^2,

где С - ёмкость конденсатора, а V - напряжение на конденсаторе. Напряжение V на конденсаторе можно выразить через заряд q и ёмкость C:

V = q / C.

Энергия магнитного поля катушки (W_маг) определяется формулой:

W_маг = (1/2) * L * I^2,

где L - индуктивность катушки, а I - ток через катушку. Ток I можно выразить через заряд q и время t:

I = dq/dt.

Теперь, найдем выражение для тока I:

I = dq/dt = d(A * cos(π * t))/dt = -A * π * sin(π * t).

Теперь мы можем приравнять энергии и решить уравнение:

(1/2) * C * (q/C)^2 = (1/2) * L * (dq/dt)^2.

Подставим значения ёмкости C = 2 мкФ (2e-6 Ф) и индуктивности L = 0.05 Гн (0.05 Ф) и решим уравнение:

(1/2) * (2e-6) * (A * cos(π * t) / (2e-6))^2 = (1/2) * (0.05) * (-A * π * sin(π * t))^2.

Упростим:

A^2 * cos^2(π * t) = A^2 * π^2 * sin^2(π * t).

Теперь делим обе стороны на A^2:

cos^2(π * t) = π^2 * sin^2(π * t).

Используем тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Теперь получаем:

1 - sin^2(π * t) = π^2 * sin^2(π * t).

Перенесем всё в одну часть уравнения:

π^2 * sin^2(π * t) + sin^2(π * t) - 1 = 0.

Теперь объединим слагаемые:

(π^2 + 1) * sin^2(π * t) - 1 = 0.

Теперь выразим sin^2(π * t):

sin^2(π * t) = 1 / (π^2 + 1).

Теперь найдем sin(π * t):

sin(π * t) = √(1 / (π^2 + 1)).

Теперь, чтобы найти t, возьмем обратный синус:

π * t = arcsin(√(1 / (π^2 + 1))).

Теперь найдем t:

t = arcsin(√(1 / (π^2 + 1))) / π.

Вычислим численное значение t:

t ≈ arcsin(√(1 / (π^2 + 1))) / π ≈ 0.158 секунд.

Таким образом, энергия электрического поля конденсатора будет равна энергии магнитного поля катушки в момент времени t ≈ 0.158 секунд.