Question

Помогите пожалуйста с этой задачей При падении тела с большой высоты в воздухе через некоторый промежуток времени его скорость становится постоянной. Учитывая, что сила лобового сопротивления прямо пропорциональна площади поперечного сечения тела и квадрату его скорости, определите отношение установившихся скоростей VR/Vr двух шаров радиусами R и r. Шары изготовлены из одного и того же материала.

Answer 1

Ответ:

vR/vr = √ (R/r)

Объяснение:

На тело действует сила тяжести и сила сопротивления, которые уравновешивают друг друга:

m*g = k*S*v²

v = √( m*g / (k*S)

m = ρ*V = ρ*(4/3)*π*R³

S = 4*π*R²

тогда:

v = √( m*g / (k*S) = √ (ρ*(4/3)*π*R³*g / (k*4*π*R²)) = √ (ρ*R*g / (3*k))

vR = √ (ρ*R*g / (3*k))

vr = √ (ρ*r*g / (3*k))

vR / vr = √ (R/r)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся законами движения тела с учетом силы лобового сопротивления, которая пропорциональна площади поперечного сечения тела и квадрату его скорости.

Обозначим:

• M - масса шара радиуса R,
• m - масса шара радиуса r,
• V - установившаяся скорость большего шара радиуса R,
• Vr - установившаяся скорость меньшего шара радиуса r,
• S - площадь поперечного сечения большего шара радиуса R,
• Sr - площадь поперечного сечения меньшего шара радиуса r.

Так как шары изготовлены из одного и того же материала, и плотность материала у них одинакова, то отношение масс шаров равно отношению их объемов:

M / m = (4/3 * π * R^3) / (4/3 * π * r^3) = R^3 / r^3

Также установившиеся скорости связаны силами лобового сопротивления и весом шаров следующим образом:

M * g = 0.5 * ρ * V^2 * S * C, где ρ - плотность воздуха, C - коэффициент лобового сопротивления m * g = 0.5 * ρ * Vr^2 * Sr * C

Отношение установившихся скоростей:

V / Vr = sqrt((M * Sr) / (m * S))

Теперь нам нужно найти отношение площадей поперечных сечений Sr / S. Так как объемы шаров связаны, то радиусы шаров также связаны:

R^3 / r^3 = (4/3 * π * R^3) / (4/3 * π * r^3) = S / Sr

Теперь можем выразить отношение площадей:

Sr / S = 1 / (R^3 / r^3) = r^3 / R^3

Подставляем в выражение для отношения установившихся скоростей:

V / Vr = sqrt((M * Sr) / (m * S)) = sqrt((M * r^3 / R^3) / (m * 1)) = sqrt((M * r^3) / (m * R^3))

Таким образом, отношение установившихся скоростей двух шаров радиусами R и r равно:

VR / Vr = sqrt((M * r^3) / (m * R^3))

Если даны значения массы и радиусов шаров, можно подставить их в данное выражение и вычислить отношение установившихся скоростей.