Question

На противоположных берегах прямолинейного участка реки точно напротив друг друга находятся два человека. Они однoвременно начинают движение: первый — бежит со скоростью V1=2 м/с вдоль берега реки по течению, второй — плывет на катере, максимальная скорость которого относительно воды V2=13 м/с. Ширина реки L=60 м. За какое минимальное время второй может догнать первого? Скорость течения u=7 м/с. Ответ выразить в секундах, округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

t = 5 c

Объяснение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

Н = 60 м - ширина реки

u = 7 м/с - скорость течения

v₁ = 2 м/с - скорость бегуна

v₂ = 13 м/с - собственная скорость катера

----------------------------------------------------------------------------

t - ? - минимальное время движения до встречи

-----------------------------------------------------------------------------

S₁ = v₁ · t - длина пути бегуна

За время t река снесёт катер по течению на расстояние

S₂₁ = u · t

Чтобы попасть в ту же точку, куда прибежит бегун, катер должен двигаться с собcтвенной скоростью v₂ под углом α  к направлению, противоположному течению реки. В этом направлении катер за время t пройдёт путь

S₂₂ = v₂ · t

По рисунку видим, что

S₁ = S₂₁ - S₂₂ · cos α

или

v₁ · t =  u · t - v₂ · t · cos α

откуда

$cos~\alpha = \dfrac{u - v_1}{v_2} == \dfrac{7 - 2}{13} =\dfrac{5}{13}$

$sin~\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169} } = \dfrac{12}{13}$

Ширина реки

H = S₂₂ · sin α

H = v₂ · t · sin α

откуда время от начала движения до встречи

$t = \dfrac{H}{v_2\cdot sin~\alpha} = \dfrac{60}{13\cdot \dfrac{12}{13} } = 5~(s)$

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти оптимальный угол направления движения катера относительно направления течения реки, чтобы минимизировать время, за которое он догонит бегущего человека на противоположном берегу.

Обозначим угол направления катера относительно направления течения реки как α. Тогда скорость катера относительно берега будет равна:

V2_берег = V2 * cos(α)

Из условия задачи известно, что скорость течения реки u = 7 м/с, и первый человек бежит по течению. Поэтому его скорость относительно берега:

V1_берег = V1 + u = 2 м/с + 7 м/с = 9 м/с

Теперь мы должны найти такой угол α, при котором катер двигается с максимальной скоростью относительно первого человека. Это произойдет, когда скорости первого и второго будут направлены вдоль прямой, соединяющей их начальные положения.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где катетом является V1_берег (9 м/с), а гипотенузой — V2_берег (скорость катера относительно берега). Мы знаем, что V2_берег = V2 * cos(α). Поэтому:

cos(α) = V2_берег / V2 cos(α) = 9 м/с / 13 м/с ≈ 0.6923

Теперь найдем значение самого угла α:

α = arccos(0.6923) ≈ 45.13°

Теперь, когда у нас есть оптимальный угол движения катера, мы можем найти время, за которое он догонит первого человека.

Расстояние между берегами реки L = 60 м, и катер начинает движение с противоположного берега. Поэтому расстояние, которое должен пройти катер, равно:

L_катер = L / cos(α) L_катер = 60 м / cos(45.13°) ≈ 84.85 м

Теперь найдем время, за которое катер преодолеет это расстояние, двигаясь со скоростью V2 относительно воды:

t = L_катер / V2 t = 84.85 м / 13 м/с ≈ 6.53 секунд

Таким образом, минимальное время, за которое второй человек (на катере) догонит первого (бегущего по берегу), составляет около 6.53 секунд (округляем до целого числа), что будет наилучшим результатом для второго человека.