Question

У диспетчера аэропорта к моменту начала дежурства (20 часов 00 минут) имеется информация о движении 2-х самолетов. 1. Отметить положения воздушных судов и направления их полета. 2. Запишите законы движения самолетов. 3. Определите время вылета одного из самолетов. 4. Определите минимальное расстояние, на которое сближаются самолеты, и время, когда произойдет сближение... 5. Найдите модуль скорости первого самолета в системе отсчета второго. Координаты первого:(50;50;3) Координаты второго:(50;-20;4) Проекции скоростей первого по икс: 360 Проекции скоростей первого по игрек: -360 Проекции скоростей второго по икс: 720 Проекции скоростей второго по игрек: -288

Answer 1

По условию предполагается, что самолёты двигаются с приблизительно постоянной скоростью (ускорение нулевое).

Также, так как не даётся проекций относительно оси Z, предполагаем, что движения по оси Z нет.

Общий закон движения:

$x = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$

С учётом a = 0:

$x = x_0 + v_0t$

1)

а) Первый самолёт в 20:00 находится выше второго, идёт вниз под углом:

$\alpha = arctg(\frac{|v_x|}{|v_y|}) = arctg(\frac{360}{360}) = 45^{o}$,

направление полёта совпадает с направлением полёта второго.

б) Второй самолёт в 20:00 находится ниже первого, идёт вниз под углом:

$\alpha = arctg(\frac{|v_x|}{|v_y|}) = arctg(\frac{720}{288}) = 68^{o}$,

направление полёта совпадает с направлением полёта второго.

2)

а) Для первого самолёта законы движения:

по оси X:

$x_1 = 50 + 360t$

и по оси Y:

$y_1 = 50 - 360t$

Общий закон (система):

x₁ = 50 + 360t

y₁ = 50 - 360t

z = const

б) Для второго самолёта система законов движения:

x₂ = 50 + 720t

y₂ = -20 - 288t

z = const

3) Определим для первого.

Пусть высота, на которой находится место, откуда взлетел самолёт это y(взлёт). Если допустить, что самолёт вылетел с высокого места, и приземляется пониже (то есть изменение координат Δx₁ = const и Δy₁ = const). Тогда время, которое первый самолёт находится в полёте, вытащим из закона движения первого самолёта по оси Y, вместо y₁ подставим y(взлёт):

$t = \frac{50 - y_a}{360}$

где yₐ = y(взлёт) - координата места взлёта по y.

Отнимаем от 20:00 время t, и получаем время вылета.

4) Если считать от времени, когда диспетчер получил информацию о положениях самолётов:

Как мы видим из законов, первый самолёт по координате x в момент времени 20:00 равен второму самолёту. Также из законов движения, второй самолёт летит в два раза быстрее по x координате, чем первый самолёт. Следовательно, когда диспетчер начал наблюдать за самолётами, самолёты уже отдалялись друг от друга. Следовательно, если находить кратчайшее расстояние между двумя самолётами с момента обозревания диспетчера, то это время - 20:00.

Расстояние:

$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = 70$

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку:

1. Отметим положения воздушных судов и направления их полета:

   • Первый самолет с координатами (50; 50; 3) движется по направлению с проекцией скорости по оси X = 360 и проекцией скорости по оси Y = -360.
   • Второй самолет с координатами (50; -20; 4) движется по направлению с проекцией скорости по оси X = 720 и проекцией скорости по оси Y = -288.

2. Запишем законы движения самолетов: Законы движения определяются проекциями скоростей самолетов на каждую из осей.

   Для первого самолета: x(t) = 50 + 360t y(t) = 50 - 360t z(t) = 3

   Для второго самолета: x(t) = 50 + 720t y(t) = -20 - 288t z(t) = 4

3. Определим время вылета одного из самолетов: Мы не имеем информации о времени вылета непосредственно, но судя по исходным координатам, оба самолета находятся в воздухе и могут двигаться относительно друг друга.

4. Определим минимальное расстояние, на которое сближаются самолеты, и время, когда произойдет сближение: Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно определить с помощью формулы расстояния между двумя точками:

   D = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

   Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

   Подставим значения координат и посчитаем расстояние:

   D = √((50 - 50)^2 + (-20 - 50)^2 + (4 - 3)^2) = √(0 + 70^2 + 1) ≈ √4901 ≈ 70 миль

   Теперь определим время, когда произойдет сближение. Для этого нужно найти момент времени t, когда расстояние между самолетами будет минимальным. Приравняем координаты и найдем t:

   50 + 360t = 50 + 720t 50 - 360t = -20 - 288t 3 = 4

   Уравнения не имеют решений, то есть самолеты не сближаются, их пути не пересекаются.

5. Найдем модуль скорости первого самолета в системе отсчета второго: Модуль скорости можно определить по формуле:

   |V| = √(Vx^2 + Vy^2)

   Где Vx и Vy - проекции скорости на оси X и Y соответственно для первого самолета.

   |V| = √(360^2 + (-360)^2) = √(129600 + 129600) ≈ √259200 ≈ 509 миль/час

Отметим, что расстояние между самолетами стабильно, и время их сближения не наступит, так как они движутся параллельно друг другу.