Question

А) Тело бросили с земли вертикально вверх со скоростью 5 м/c. Какой максимальной высоты оно достигло? Сопротивление воздуха не учитывать. б) Тело свободно падает с высоты 20 м. На какой высоте его потенциальная энергия в 2 раза меньше кинетической?

Answer 1

Ответ:

а) 1,25 м

б) 6,67 м

Объяснение:

а) По сути, движение брошенного вверх тела — это равноускоренное движение с отрицательным ускорением g (ускорением свободного падения), поэтому перемещение тела (равное максимальной высоте подъёма) можно выразить формулой

$S = \frac{v^{2} - v0^{2} }{2a}$, где v — конечная скорость, v0 — начальная скорость, а — ускорение.

В данном случае v = 0, так как на максимальной высоте тело останавливается (и потом начинает падать вниз), v0 = 5 м/с, ускорение а — ускорение свободного падения g. Но так как тело движется вверх, а g направлено вниз, то есть ускорение направлено противоположно движению, g приобретает знак «минус». Тогда формулу перемещения можно переписать как

$S=\frac{-v0^{2} }{-2g} = \frac{v0^{2} }{2g}$

Подставим значения величин из условия:

$S=\frac{5^{2} }{2*10}$ = 1,25 (м)

Ответ: 1,25 м.

б) Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле Еп = m*g*h (m — масса тела, h — высота, на которой оно находится), а кинетическая энергия — по формуле Ек = $\frac{mv^{2} }{2}$

На искомой высоте h выполняется равенство

Ек = 2Еп, то есть

$\frac{mv^{2} }{2} = 2mgh$, или

$mv^{2} = 4mgh$  

Разделив обе части равенства на m, получим

$v^{2} = 4gh$

$v = \sqrt{4gh} = \sqrt{4*10h} = \sqrt{40h}$

Назовём путь, который прошло тело, чтобы набрать скорость v, буквой L. Так как свободное падение — это равноускоренное движение с ускорением g,

$L=\frac{v^{2} - v0^{2} }{2g} = \frac{v^{2} }{2g}$

(v0 = 0; g положительно, так как оно направлено вниз, и тело тоже движется вниз).

Пусть h — искомая высота, на которой Ек = 2Еп, Н — максимальная высота (та, с которой падает тело; по условию, Н=20 м). Так как для соблюдения условия Ек = 2Еп нужно, чтобы тело набрало скорость v, а эту скорость оно набирает, пройдя путь L,

h = H - L =  $20 - \frac{v^{2} }{2g}$

Итак,

$v = \sqrt{40h}$,

$h = 20 - \frac{v^{2} }{2g}$.

Подставим $20 -\frac{v^{2} }{2g}$ вместо h в уравнение скорости:

$v=\sqrt{40(20 - \frac{v^{2} }{2g}) } = \sqrt{800 - \frac{40v^{2} }{20} } = \sqrt{800 - 2v^{2} }$

Возведём обе части в квадрат:

$v^{2} = 800 - 2v^{2}$

$3v^{2} = 800$

$v^{2}$ ≈ 266,6 (м2/с2)

Подставим это значение в формулу для h:

$h = 20 - \frac{v^{2} }{2g} = 20 - \frac{266,6}{20} = 20 - 13,33 = 6,67$ (м)

Проверим, выполняется ли условие $\frac{mv^{2} }{2} = 2mgh$:

$\frac{266,6m}{2} = 2*10*6,67*m$

133,3m ≈ 133,4m

[расхождение появляется из-за того, что g взято равным 10 м/с2, а не 9,8 м/с2, и прочих округлений; расхождение не сильно влияет на результат]

Ответ: 6,67 м.

Answer 2

а) Для определения максимальной высоты, которую достигнет тело, можно использовать законы движения свободно падающего объекта. При вертикальном броске вверх начальная скорость положительная (5 м/c), а ускорение свободного падения направлено вниз и имеет величину приблизительно 9.8 м/c².

Наивысшая точка подъема будет достигнута, когда вертикальная составляющая скорости станет равной нулю. Используем уравнение движения:

$v^2 = u^2 + 2as$,

где:

• $v$ - конечная скорость (0 м/c на максимальной высоте),
• $u$ - начальная скорость (5 м/c),
• $a$ - ускорение свободного падения (-9.8 м/c², так как направление вниз),
• $s$ - расстояние (высота), которую мы хотим найти.

Подставляя известные значения:

$0^2 = 5^2 + 2 \cdot (-9.8) \cdot s$,

$0 = 25 - 19.6s$,

$s = \frac{25}{19.6} ≈ 1.28 \, \text{м}.$

Таким образом, максимальная высота, которую достигнет тело, составит приблизительно 1.28 м.

б) Для определения высоты, на которой потенциальная энергия будет в 2 раза меньше кинетической энергии, нужно учесть, что потенциальная энергия и кинетическая энергия связаны следующим образом:

$PE = mgh$, $KE = \frac{1}{2}mv^2$,

где:

• $PE$ - потенциальная энергия,
• $KE$ - кинетическая энергия,
• $m$ - масса тела,
• $g$ - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/c²),
• $h$ - высота,
• $v$ - скорость тела на данной высоте.

Мы хотим найти высоту $h$, на которой $PE$ в 2 раза меньше $KE$. То есть:

$2 \cdot PE = KE$,

$2 \cdot mgh = \frac{1}{2}mv^2$,

$2gh = v^2$.

Подставим $v$ из уравнения движения свободно падающего тела:

$2gh = (2gh_0)^2$,

где $h_0 = 20$ м - начальная высота.

$2gh = 4g^2h_0^2$,

$h = 4h_0^2 = 4 \cdot (20^2) = 1600 \, \text{м}.$

Таким образом, тело на высоте 1600 м его потенциальная энергия будет в 2 раза меньше кинетической энергии.