Question

Вычисли расстояние от поверхности Земли, на котором гравитационная сила, действующая на тело, будет в 8,9 раз меньше, чем на поверхности Земли. Радиус Земли принять равным 6380 км.

Answer 1

Сила притяжения на поверхности Земли:

         $\displaystyle F_{1}=G\cdot\frac{m\cdot M}{R^{2}}$

где G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² - гравитационная постоянная

       m - масса тела, кг

       М = 6·10²⁴ кг - масса Земли

       R = 6,38·10⁶ м - радиус Земли

Сила притяжения тела к Земле на высоте h над ее поверхностью:

         $\displaystyle F_{2}=G\cdot\frac{m\cdot M}{(R+h)^{2}}$

По условию:  F₁ = 8,9F₂

Тогда:  

         $\displaystyle \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{(R+h)^{2}}{R^{2}}=8,9\\\\\\R^{2}+2Rh+h^{2}-8,9R^{2}=0\\\\h^{2}+2\cdot6,38\cdot10^{6}\cdot h-7,9\cdot40,7044\cdot10^{12}=0\\\\h^{2}+12,76\cdot10^{6}\cdot h-321,56476\cdot10^{12}=0\\\\ D=b^{2}-4ac=162,8176\cdot10^{12}+1286,25904\cdot10^{12}=\\\\{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1449,07664\cdot10^{12}\approx(38,0667\cdot10^{6})^{2}\\\\h=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-12,76\cdot10^{6}+38,0667\cdot10^{6}}{2}=12,65335\cdot10^{6} \ (m)$    

Ответ: 12653,35 км.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

F1 = 8,9*F2

F1 = Gm1m2/R^2

F2 = Gm1m2/(R+r)^2

F1/F2 = (R+r)^2 / R^2 = 8,9

R^2 + 2Rr + r^2 = 8,9R^2

r^2 + 12 760r  - 321 564 760 = 0

Решая квадратное уравнение получим единственно удовлетворяющий нас ответ

r = 12653,37 км

Answer 3

Давайте обозначим расстояние от центра Земли до точки, на которой гравитационная сила будет в 8.9 раз меньше, чем на поверхности Земли, как $r$. Гравитационная сила $F$ между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2},$

где $G$ - гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ - массы двух тел (в данном случае масса Земли и масса тела, на которое действует гравитационная сила), $r$ - расстояние между центрами тел.

Сравнивая гравитационные силы на поверхности Земли и на расстоянии $r$, мы можем записать:

$\frac{F_{\text{поверхность}}}{F_r} = \frac{\frac{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{тело}}}{R_{\text{Земли}}^2}}{\frac{G \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{тело}}}{r^2}} = \frac{R_{\text{Земли}}^2}{r^2} = 8.9.$

Подставляя значения $R_{\text{Земли}} = 6380$ км и $r$ в этот уравнение, мы можем решить уравнение относительно $r$:

$\frac{6380^2}{r^2} = 8.9.$

Решая это уравнение, получим:

$r^2 = \frac{6380^2}{8.9},$

$r = \sqrt{\frac{6380^2}{8.9}} \approx 36000 \ \text{км}.$

Таким образом, расстояние от поверхности Земли, на котором гравитационная сила будет в 8.9 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет около 36000 км.