Question

Края квадратных пластин плоского конденсатора касаются поверхности керосина. Какое напряжение необходимо подать на пластины, чтобы керосин поднялся до верхнего края пластин, если расстояние между пластинами конденсатора d = 1 мм, площадь пластин S = 16 см2. Диэлектрическая проницаемость керосина ϵ = 2, плотность керосина ρ = 800 кг/м3. Электрическая постоянная ϵ0 = 8,85×10-12 Ф/м. Ответ дайте в кВ, округлив до целых.

Answer 1

Ответ:

6 кВ

Объяснение:

Сразу отметим, что керосин поднимется до максимальной высоты и начнет совершать колебания у точки равновесия, отстоящей от поверхности жидкости на половину высоты пластин. Если в задаче подразумевается максимальная высоты подъема жидкости то решение следует оставить как есть, если установившееся после затухания колебаний (за счет диссипации энергии на вязкое трение) - результат стоит умножить на $\sqrt{2}$.

В процессе подъема жидкости между пластинами конденсатора меняется его емкость. Обозначим первоначальную емкость за С₀, очевидно

$C_0=\frac{\epsilon_0S}{d}$

После того, как конденсатор полностью заполнился диэлектриком, емкость стала равна

$C_1=\frac{\epsilon \epsilon_0S}{d}$

Работа, совершенная при это источником ЭДС

$A=U\Delta q=U(C_1U-C_0U)=U^2(C_1-C_0)=\frac{U^2\epsilon_0S}{d}(\epsilon-1)$

Изменение энергии электрического поля конденсатора

$\Delta W=\frac{C_1U^2}{2}-\frac{C_0U^2}{2}=\frac{U^2}{2}(C_1-C_0)=\frac{U^2\epsilon_0S}{2d}(\epsilon-1)$

Изменение потенциальной энергии жидкости (здесь мы учитываем, что центр масс жидкости находится на середине высоты пластин)

$\Delta E_p=mg\Delta h=\rho Sdg\frac{h}{2}$

Из закона сохранения энергии

$A=\Delta W+\Delta U_p$

$\frac{U^2\epsilon_0S}{d}(\epsilon-1)=\frac{U^2\epsilon_0S}{2d}(\epsilon-1)+\rho Sdg\frac{h}{2}$

$\frac{U^2\epsilon_0S}{2d}(\epsilon-1)=\rho Sdg\frac{h}{2}$

$U=\sqrt{\frac{\rho d^2gh}{\epsilon_0 (\epsilon-1)} }=\sqrt{\frac{800*0.001^2*10*0.04}{8.85*10^{-12}*(2-1)} }\approx6000$ В или 6 кВ.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу емкости конденсатора:

C = (ϵ * ϵ₀ * S) / d,

где C - емкость конденсатора, ϵ₀ - электрическая постоянная (8,85×10^(-12) Ф/м), S - площадь пластин (16 см² = 0,0016 м²), d - расстояние между пластинами (1 мм = 0,001 м).

Подставим известные значения:

C = (2 * 8,85×10^(-12) Ф/м * 0,0016 м²) / 0,001 м = 2,82×10^(-11) Ф.

Теперь мы можем использовать формулу для напряжения на конденсаторе:

U = Q / C,

где U - напряжение на конденсаторе, Q - заряд на пластинах конденсатора.

Мы также знаем, что заряд на пластинах связан с изменением объема жидкости:

Q = ρ * g * V,

где ρ - плотность жидкости (800 кг/м³), g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²), V - объем жидкости.

Объем жидкости можно выразить через площадь пластин и высоту поднятия жидкости h:

V = S * h.

Теперь мы можем объединить все формулы и найти значение напряжения U:

U = (ρ * g * S * h) / C.

Поскольку нам нужно найти напряжение в кВ, округлим ответ до целых.

Подставим все значения:

U = (800 кг/м³ * 9,8 м/с² * 0,0016 м² * h) / 2,82×10^(-11) Ф.

Учитывая, что 1 кВ = 1000 В, мы можем преобразовать ответ в кВ:

U (кВ) = (800 * 9,8 * 0,0016 * h) / (2,82×10^(-11) * 1000).

Теперь, если мы знаем высоту поднятия жидкости h, мы можем найти напряжение U в кВ.