Question

Резистор R =100 Ом и конденсатор С = 11,8 мкФ присоединены параллельно к источнику с напряжением u(t) = 100 + 100sin(314t) + 50sin(942t) В. Найти мгновенное значение общего тока

Answer 1

Ответ:

$I(t)=1+1.1sin(314t+0.35)+0.75sin(942t+0.84)$

Объяснение:

Силу тока найдем по закону Ома

$I(t)=U(t)G$ где G - проводимость параллельно соединенных конденсатора и резистора.

Проводимость резистора

$G_R=\frac{1}{R}$

Проводимость конденсатора

$G_C=\omega C$

Общая проводимость

$G=\sqrt{G_R^2+G_C^2}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+\omega^2C^2 }$

Исходное напряжение состоит из постоянной и двух гармонических составляющих, для каждой из них найдем ток, затем их сложим. Сдвиги фаз всюду ищем по формуле $\phi=arctg\frac{G_C}{G_R}$

$G_R=0.01$ См; $G_C=0$ См

$I_1(t)=u_1(t)G_1=100*0.01=1$ А (сдвиг фазы 0°)

2) $u_2(t)=100sin100\pi t$ В

$G_R=0.01$ См; $G_C=100\pi *11.8*10^-^6=0.0037$ См

$G_2=0.011$ См

$I_2(t)=$$100*0.011=1.1$ А (сдвиг фазы 20°)

3) $u_3(t)=50sin300\pi t$

$G_R=0.01$ См; $G_C=300\pi *11.8*10^-^6=0.011$ См

$G_3=0.015$ См

$I_3(t)=50*0.015=0.75$ А (сдвиг фазы 48°)

Результирующий ток

$I(t)=1+1.1sin(314t+20^0)+0.75sin(942t+48^0)$ или в радианах

$I(t)=1+1.1sin(314t+0.35)+0.75sin(942t+0.84)$

А вот так этот ток выглядит.

Answer 2

Для нахождения мгновенного значения общего тока в этой параллельной цепи, мы можем использовать закон Ома для резистора и закон тока для конденсатора. Общий ток будет суммой тока, протекающего через резистор, и тока, протекающего через конденсатор.

1. Ток через резистор: Согласно закону Ома, ток через резистор можно выразить как: $I_R(t) = \frac{u(t)}{R},$ где $u(t)$ - напряжение на источнике, а $R$ - сопротивление резистора.

2. Ток через конденсатор: Ток через конденсатор можно выразить с использованием закона тока для конденсатора: $I_C(t) = C \frac{du(t)}{dt},$ где $C$ - емкость конденсатора, $du(t)/dt$ - производная напряжения по времени.

Теперь мы можем объединить оба тока, чтобы получить общий ток: $I_{\text{общий}}(t) = I_R(t) + I_C(t).$

Подставляя значения исходных параметров, мы получим: $I_{\text{общий}}(t) = \frac{u(t)}{R} + C \frac{du(t)}{dt}.$

Теперь подставим выражение для $u(t)$ и продифференцируем его по времени: $u(t) = 100 + 100\sin(314t) + 50\sin(942t) \, \text{В},$ $\frac{du(t)}{dt} = 314 \cdot 100\cos(314t) + 942 \cdot 50\cos(942t).$

Теперь можем выразить общий ток: $I_{\text{общий}}(t) = \frac{100 + 100\sin(314t) + 50\sin(942t)}{100} + 11.8 \times 10^{-6} \left(314 \cdot 100\cos(314t) + 942 \cdot 50\cos(942t)\right).$

Это выражение даст вам мгновенное значение общего тока в зависимости от времени $t$.