Question

В цилиндре под поршнем площади S и массы М находится ν моль идеального газа при температуре Т1. На какую высоту Н относительно первоначального уровня поднимется поршень, если цилиндр нагреть до температуры Т2? Атмосферное давление ра, ускорение свободного падения равно g.

Answer 1

Ответ:

$\frac{\nu R(T_2-T_1)}{Mg+p_aS}$

Объяснение:

Газ под поршнем совершит работу против внешних сил, в данном случае  - силы давления атмосферного воздуха и веса поршня. С одной стороны эта работа равна

$A=(Mg+p_aS)\Delta H$

С другой стороны, процесс изобарный

$A=p \Delta V=\nu R \Delta T$

Таким образом

$\nu R (T_2-T_1)=(Mg+p_aS)\Delta H$

$\Delta H=\frac{\nu R(T_2-T_1)}{Mg+p_aS}$.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать закон Бойля-Мариотта и закон Гей-Люссака для идеальных газов.

1. Закон Бойля-Мариотта: По закону Бойля-Мариотта, при постоянной температуре и количестве вещества, объем газа обратно пропорционален его давлению: $P_1 V_1 = P_2 V_2$

Где:

• $P_1$ - начальное давление газа (атмосферное давление + дополнительное давление от поршня),
• $V_1$ - начальный объем газа (S * H, где H - начальная высота поршня),
• $P_2$ - конечное давление газа (атмосферное давление),
• $V_2$ - конечный объем газа (S * (H + N), где N - изменение высоты поршня).

Из этого уравнения можно выразить $\frac{V_2}{V_1}$: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}$

2. Закон Гей-Люссака: По закону Гей-Люссака, при постоянном давлении и количестве вещества, объем газа пропорционален его абсолютной температуре: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Где:

• $T_1$ - начальная абсолютная температура (в Кельвинах),
• $T_2$ - конечная абсолютная температура (в Кельвинах).

Совмещая оба уравнения, мы можем найти изменение высоты поршня, $N$: $\frac{S \cdot (H + N)}{S \cdot H} = \frac{P_1}{P_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Учитывая, что $P_1 = P_{атм} + \rho \cdot g \cdot H$ (где $\rho$ - плотность газа), и $P_2 = P_{атм}$, мы можем записать: $\frac{H + N}{H} = \frac{P_{атм} + \rho \cdot g \cdot H}{P_{атм}} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Теперь, выразив $N$: $N = H \cdot \left( \frac{P_{атм} + \rho \cdot g \cdot H}{P_{атm}} \cdot \frac{T_2}{T_1} - 1 \right)$

Это выражение позволяет рассчитать изменение высоты поршня, когда цилиндр нагревается до температуры $T_2$ изначально имея температуру $T_1$.