Question

Материальная точка M движется в пространстве под действием силы, которая одновременно параллельна фиксированной плоскости P и перпендикулярна скорости M. Зная, что величина этой силы сила пропорциональна скорости M и что в начальный момент M наделена скоростью v0 который образует угол α с плоскостью P, мы просим: 1. Определите движение M, указав его траекторию и часовой закон. 2. Укажите, каким было бы движение точки, если бы указанная сила была пропорциональной. кубу скорости М.

Answer 1

Введем систему координат так, чтобы плоскость P являлась плоскостью Oxy. Скорость частицы тогда представима в виде

$\mathbf{v} = \mathbf{v}_\parallel + \mathbf{e}_z v_z$

т.е в виде суммы проекции на плоскость и на перпендикуляр плоскости. Сила, же, действующая на частицу, всегда перпендикулярна $\mathbf{e}_z$, но так как она перпендикулярна и скорости частицы, мы делаем вывод, что

$(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}_\parallel) = 0$

Значит z-проекция скорости не меняется и частица смещается с постоянной скоростью вдоль перпендикуляра к плоскости. Также мы видим, что сила все время перпендикулярна компоненте скорости $\mathbf{v}_\parallel$, значит она не меняет и ее величины (v cos α), а меняет только направление в плоскости. Отсюда глобальный вывод: модуль скорости частицы постоянен, значит постоянен и модуль силы, действующий на нее.

Без ограничения общности можно считать, что векторы $\mathbf{v}_\parallel$, $\mathbf{F}$ и $\mathbf{e}_z$ образуют правую тройку. Тогда

$></p> <p>Отметим что множитель F/(mv_0 cos α) постоянен в любом варианте задачи, обозначим его как ω. Продифференцируем первую строчку</p> <p><img src=$

Аналогично

$\ddot{v}_y = -\omega^2 v_y$

Это все уравнения колебаний. Без ограничения общности можно считать, что начальная скорость частицы направлена вдоль оси Ox, тогда

$v_x(t) = v_A\cos(\omega t) = v_0\cos\alpha\cos(\omega t)\\v_y(t)= v_A\sin(\omega t) = v_0\cos\alpha\sin(\omega t)$

Тогда  после однократного интегрирования получим

$x(t) = v_0\cos\alpha\sin(\omega t)/\omega\\y(t) = -v_0\cos\alpha\cos(\omega t)/\omega$

Мы вольны выбирать какие хотим постоянные интегрирования, поскольку пока выбор положения начала координат в плоскости Oxy можно скорректировать. Удобнее всего вид, приведенный выше, в этом случае видно, что точка в плоскости движется по окружности с периодом

$T = 2\pi/\omega = 2\pi mv_0\cos\alpha/F$

и радиусом

$R = v_0\cos\alpha/\omega = mv_0^2\cos^2\alpha/F$

Значит траектория частицы в пространстве это спираль с радиусом R и шагом

$h = v_0T\sin\alpha= \pi m v_0^2\sin 2\alpha / F$

В первом случае радиус и шаг спирали прямо пропорциональны начальной скорости, во втором - обратно пропорциональны

Answer 2

1. Поскольку сила параллельна плоскости P и перпендикулярна скорости M, она будет влиять только на величину скорости M, но не будет изменять её направление. Это означает, что проекция скорости точки M на плоскость P будет оставаться постоянной во времени.

Так как сила пропорциональна скорости M, мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для этой системы:

$F = m \cdot a = m \cdot \frac{dv}{dt}$

где F - сила, m - масса точки M, v - скорость точки M.

Поскольку F пропорциональна v, мы можем записать $F = -kv$, где k - коэффициент пропорциональности.

Таким образом, уравнение движения будет иметь вид:

$-kv = m \cdot \frac{dv}{dt}$

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

$\int \frac{1}{v} dv = -\frac{k}{m} \int dt$

$\ln|v| = -\frac{k}{m} t + C_1$

где $C_1$ - константа интегрирования.

Теперь мы знаем, что в начальный момент времени $t = 0$, скорость $v = v_0$ (начальная скорость точки M). Подставляя это, получаем:

$\ln|v_0| = C_1$

Таким образом, наше уравнение движения становится:

$\ln\left|\frac{v}{v_0}\right| = -\frac{k}{m} t$

Экспоненцируя обе стороны уравнения, получаем:

$\frac{v}{v_0} = e^{-\frac{k}{m} t}$

Отсюда:

$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}$

Так как проекция скорости на плоскость P остается постоянной, это означает, что вектор скорости M будет двигаться по прямой линии параллельно плоскости P. Таким образом, траектория будет прямой линией на плоскости P.

2. Если бы сила была пропорциональна кубу скорости M, уравнение движения стало бы:

$F = -k'v^3$

где $k'$ - коэффициент пропорциональности.

Такое уравнение движения будет сложным и дифференциальным, и его аналитическое решение может быть достаточно сложным. Однако, в общем случае, точка M будет сначала замедляться, затем остановится и начнет двигаться в обратном направлении. Траектория точки M в этом случае может быть сложной и зависеть от начальных условий.