Question

Во сколько раз масса груза одного пружинного маятника больше массы другого, если за одно и то же время первый совершает 10 колебаний, а второй – 30 колебаний? Пружины имеют одинаковую жесткость.

Answer 1

Ответ:

в 9 раз

Объяснение:

Обозначим это время за t, тогда периоды маятников:

$\displaystyle T_1=\frac{t}{N_1}=\frac{t}{10}$ с

$\displaystyle T_2=\frac{t}{N_2}=\frac{t}{30}$ с

С другой стороны:

$\displaystyle T_1=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k} }$

$\displaystyle T_2=2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k} }$

Отношение периодов:

$\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k} }*\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m_2} }=\sqrt{\frac{m_1}{m_2} }$

Это же отношение также равно:

$\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{t}{10}*\frac{30}{t}=3$

Таким образом:

$\displaystyle \sqrt{\frac{m_1}{m_2} }=3 => \frac{m_1}{m_2}=9$.

Answer 2

Период колебаний пружинного маятника зависит только от его массы и жесткости пружины, но не от амплитуды колебаний. Формула периода колебаний для пружинного маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где:

• $T$ - период колебаний,
• $m$ - масса маятника,
• $k$ - жесткость пружины.

Так как оба маятника имеют одинаковую жесткость, то отношение их периодов колебаний будет определяться только отношением их масс:

$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Известно, что $T_1 = \frac{1}{10} T_2$ (первый маятник совершает 10 колебаний за то же время, что и второй маятник совершает 30 колебаний):

$\frac{\frac{1}{10} T_2}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

$\frac{1}{10} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

$\frac{1}{100} = \frac{m_1}{m_2}$

Отсюда масса груза первого маятника $m_1$ будет сто раз меньше, чем масса груза второго маятника $m_2$:

$m_1 = \frac{m_2}{100}$

Итак, масса груза одного пружинного маятника (первого) будет сто раз меньше массы груза другого маятника (второго).