Question

Материальная точка движется по окружности R=2 м. В момент времени t=0 величина её угловой скорости равна ω0=1,5708 рад/с, а при дальнейшем движении её тангенциальное ускорение постоянно и равно aτ=3,1416 м/с2. За какое время после t=0 эта точка пройдёт половину окружности? Ответ выразите в секундах, округлив до сотых.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)

Угловое ускорение:

ε = aτ/R = 3,1416 / 2 = π/2  рад/c²

2)

Кинетическое уравнение движения:

φ = φ₀ + ω₀·t + ε·t²/2

Поскольку точка прошла половину окружности, то:

φ = π рад

φ₀ = 0

ω₀ = 1,5708 рад/с = π/2 рад/с

Имеем:

π = 0 + (π/2)·t +(π/2)·t²/2

1 = t/2 + t² /4

Получили квадратное уравнение:

t² + 2·t - 4 = 0

Решая это уравнение получим:

t = √5 - 1

t ≈ 1,24 с

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать уравнение для тангенциального ускорения:

$a_{\tau} = R \cdot \alpha,$

где $a_{\tau}$ - тангенциальное ускорение, $R$ - радиус окружности, $\alpha$ - угловое ускорение.

Также, связь между угловым ускорением и угловой скоростью выражается как:

$\alpha = \frac{d\omega}{dt},$

где $\alpha$ - угловое ускорение, $\omega$ - угловая скорость, $t$ - время.

Интегрируя это уравнение, получим:

$\omega = \omega_0 + \alpha \cdot t.$

Зная, что $\omega_0 = 1.5708$ рад/с и $\alpha = a_{\tau}/R = 3.1416/2 = 1.5708$ рад/с$^2$, мы можем записать:

$\omega = 1.5708 + 1.5708 \cdot t.$

Для того чтобы найти время, за которое точка пройдет половину окружности ($S = \pi R$), мы можем использовать связь между угловой скоростью и временем:

$\theta = \omega t,$

где $\theta$ - угол поворота (в данном случае, половина угла окружности).

Подставляя выражение для $\omega$:

$\frac{\pi}{2} = (1.5708 + 1.5708 \cdot t) \cdot t.$

Решая это уравнение относительно $t$, получим два значения $t$. Одно из них будет соответствовать моменту времени $t = 0$, который уже задан. Другое значение будет соответствовать времени, за которое точка пройдет половину окружности.

Таким образом, решая уравнение, получим:

$\frac{\pi}{2} = (1.5708 + 1.5708 \cdot t) \cdot t.$

$t^2 + 1.5708 \cdot t - \frac{\pi}{2} = 0.$

Решив это квадратное уравнение, мы получим:

$t \approx 0.8416 \text{ сек}.$

Таким образом, точка пройдет половину окружности за примерно 0.8416 секунды, округляя до сотых.