Question

Как выводится формула периода колебаний пружинного маятника?

Answer 1

Ответ:

T=2π√mk (11). Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что T зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью.

Answer 2

Период колебаний пружинного маятника можно вывести из закона Гука для упругих колебаний. Формула периода для малых амплитуд колебаний такого маятника выглядит следующим образом:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}},$

где:

• $T$ - период колебаний (время, за которое маятник совершает один полный цикл);
• $m$ - масса маятника;
• $k$ - коэффициент упругости пружины.

Закон Гука гласит, что сила $F$, действующая на пружину, пропорциональна её удлинению $x$:

$F = -kx,$

где $k$ - коэффициент упругости пружины.

Рассмотрим маятник на пружине. Если мы отклоним его на некоторый угол $\theta$ от положения равновесия, пружина будет растягиваться или сжиматься на величину $x$, которая связана с углом $\theta$ и длиной пружины. Для малых углов справедлива аппроксимация $\sin{\theta} \approx \theta$.

Из геометрии маятника находим, что $x = L \theta$, где $L$ - длина маятника от точки подвеса до центра масс.

Подставляя это в закон Гука и уравнение момента инерции для момента вращательного движения (аналог второго закона Ньютона для вращательного движения), получаем:

$-kL\theta = I \theta''$,

где $I$ - момент инерции маятника (относительно точки подвеса), $\theta''$ - угловое ускорение.

Для малых углов аппроксимация $\sin{\theta} \approx \theta$ также применима к угловому ускорению $\theta''$. Таким образом, получаем уравнение:

$-\frac{k}{I} L\theta = \theta''$.

Сравнив это уравнение с уравнением гармонических колебаний $\theta'' + \omega^2 \theta = 0$, можно сделать вывод, что $\omega^2 = \frac{k}{I}$, где $\omega$ - угловая частота колебаний.

Период $T$ связан с угловой частотой $\omega$ следующим образом: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Таким образом, подставляя $\omega^2 = \frac{k}{I}$ в формулу для периода $T$, мы получаем формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}}$,

которая выражает период колебаний пружинного маятника через его момент инерции $I$ и коэффициент упругости $k$.