Question

Незнайка на ракете НИП-2 прилетел на небольшую планету радиуса R=5.0R=5.0R=5.0 км. Привязав к нити длиной l=5.0l=5.0l=5.0 см маленький камень, Незнайка соорудил маятник и измерил период его малых колебаний в разных точках поверхности планеты. Во всех точках период получился одинаковым T=20T=20T=20 c. Завершив исследования, Незнайка улетел на ракете на круговую орбиту, находящуюся в космосе на небольшой высоте над поверхностью планеты. Определить скорость ракеты V1V_1V1​ на орбите. Ответ дать в м/с с точностью до десятых долей.Используем условия задач 1. Незнайка летает на ракете на круговой орбите, находящейся в космосе на небольшой высоте над поверхностью планеты. Затем он, включив на короткое время орбитальный двигатель, увеличивает скорость ракеты до значения V2V_2V2​ и улетает на очень большое расстояние от планеты. Там ракета имеет скорость V3=10V_3 = 10V3​=10 м/с. Найти скорость V2V_2V2​. Ответ дать в м/с с точностью до десятых долей.

Answer 1

Ответ:

5.0

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

1. Первая часть задачи: Орбита Незнайки вокруг планеты

Период малых колебаний маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения на поверхности планеты:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$

Здесь $T = 20$ секунд, $l = 0.05$ м (переведено из см в м), а $g$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты. Мы можем выразить $g$ следующим образом:

$g = \frac{4\pi^2l}{T^2}.$

Сначала найдем ускорение свободного падения на поверхности планеты. Зная, что период $T$ одинаков везде на планете, мы можем использовать эту информацию для расчета ускорения свободного падения в любой точке поверхности планеты.

Теперь, когда мы знаем $g$, мы можем перейти ко второй части задачи.

2. Вторая часть задачи: Изменение скорости ракеты

На орбите ракеты у нее есть определенная скорость $V_1$. Затем, включив орбитальный двигатель, скорость увеличивается до $V_2$.

Сохранение момента импульса гласит, что момент импульса до включения двигателя равен моменту импульса после:

$m \cdot V_1 \cdot R = m \cdot V_2 \cdot R',$

где $m$ - масса ракеты, $R$ - радиус планеты (в данном случае, ее радиус поверхности), $R'$ - радиус орбиты ракеты после включения двигателя.

Так как $R'$ будет равно $R$ плюс высота орбиты ракеты $h$, мы имеем:

$V_1 = V_2 \cdot \frac{R'}{R} = V_2 \cdot \left(1 + \frac{h}{R}\right).$

3. Третья часть задачи: Свободный полет ракеты в космосе

Когда ракета достигает очень большого расстояния от планеты, ее скорость становится равной $V_3 = 10$ м/с.

Используя закон сохранения энергии для ракеты в космосе:

$E_1 = E_2,$ $\frac{1}{2} m V_2^2 - \frac{G \cdot m M}{R'} = \frac{1}{2} m V_3^2 - \frac{G \cdot m M}{R_{\text{очень большое}}},$

где $M$ - масса планеты, $G$ - гравитационная постоянная.

Так как $R_{\text{очень большое}}$ стремится к бесконечности, второй слагаемый на правой стороне уравнения становится равным нулю, и мы получаем:

$\frac{1}{2} m V_2^2 = \frac{1}{2} m V_3^2.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $V_2$:

$V_2^2 = V_3^2,$ $V_2 = V_3 = 10 \, \text{м/с}.$

Таким образом, скорость $V_2$ равна $10$ м/с.