Question

Как определяется проекция векторных величин​

Answer 1

Проекция, можно сказать, является тенью вектора. Представь, что вектор - это копьё, расположенное под углом к полу, и что сверху на каждый из концов этого копья светит по фонарю, направленному перпендикулярно полу. И сбоку тоже на каждый из концов копья светит по фонарю, но уже направленному перпендикулярно стенке. И да, как я уже сказал, у нас есть стенка и пол. Так вот, тень в первом случае (когда фонари светят сверху) будет отбрасываться на пол, а во втором случае - на стенку. Причём фонари светят так, что концы тени на полу располагаются точно под концами копья. И то же самое с тенью на стенке. Пол - это ось X. Стенка - ось Y. И вот эти стенку, пол, копьё и фонари можно воображать в голове, когда ты ищешь проекции того или иного вектора. По сути, ты просто переставляешь оси икса и игрека - я их изобразил фиолетовым и синим цветами на рисунке. Можно вместо "пола" брать "потолок", то есть передвинуть ось икса так, чтобы она оказалась над вектором (тогда фонари будут светить на копьё снизу вверх).

Зачем косинусы и синусы? Чтобы найти длину тени на полу (косинус) и длину тени на стенке (синус). Если говорить геометрически, то длина тени на полу - прилежащий катет к гипотенузе (то есть, к копью, на концы которого светят фонари сверху), а чтобы найти длину этого катета, надо гипотенузу умножить на косинус угла между гипотенузой и этим катетом. Та же история и с тенью на стене. Только эта тень - противолежащий катет, поэтому здесь гипотенузу надо умножать на синус того же угла, что и косинус.

Я там написал формулы нахождения проекций. Есть один момент. В зависимости от направления вектора, в формулах будет стоять "+" или "-" перед модулем вектора. Как понять когда и что будет стоять? Если мы находим проекцию вектора на ось икс, то мы должны определить его сонаправленность или противонаправленность с этой осью. Как это сделать? Можно вообразить следующее: если прихлопнуть вектор рукой к оси Х (к полу) то куда он будет направлен в итоге? Куда будет указывать его стрелка? Если в ту же сторону, что и стрелка оси, то он - сонаправленный с ней, и значит в формуле будет стоять "+" перед модулем вектора. Если стрелка вектора после его "прихлопывания" указывает в другую сторону, то он противонаправленный, и тогда будет стоять "-". Точно так же воображаем и в случае оси Y: "прихлопываем" вектор к стенке и выясняем куда будет направлена его стрелка.

Короче, найти проекции вектора на оси - это найти катеты прямоугольного треугольника, который получается из гипотенузы (копья) и этих катетов (двух теней копья).

Крайние формулы справа на рисунке - это когда известны проекции, а величина вектора неизвестна. Здесь банальная теорема Пифагора идёт в ход. Если попрактиковаться немного, то будешь на раз находить проекции)

Answer 2

Проекция векторной величины на другую векторную величину - это компонента первой векторной величины в направлении второй векторной величины. Проекция позволяет представить вектор в виде суммы нескольких векторов, один из которых совпадает с направлением второго вектора, а остальные перпендикулярны к нему.

Проекция вектора A на вектор B вычисляется следующим образом:

$\text{Проекция}(\mathbf{A} \text{ на } \mathbf{B}) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{B}\|} \cdot \frac{\mathbf{B}}{\|\mathbf{B}\|}$

Где:

• $\mathbf{A}$ - вектор, который проецируется.
• $\mathbf{B}$ - вектор, на который проецируется $\mathbf{A}$.
• $\cdot$ - обозначает скалярное произведение векторов.
• $\|\mathbf{B}\|$ - длина (норма) вектора $\mathbf{B}$.

Эта формула можно также переписать как:

$\text{Проекция}(\mathbf{A} \text{ на } \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{u}) \cdot \mathbf{u}$

Где:

• $\mathbf{u}$ - единичный вектор в направлении $\mathbf{B}$, то есть $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{B}}{\|\mathbf{B}\|}$.

Проекция вектора $\mathbf{A}$ на вектор $\mathbf{B}$ показывает, какая часть вектора $\mathbf{A}$ лежит вдоль направления $\mathbf{B}$.

Этот метод применяется в различных областях, таких как геометрия, физика, инженерия, компьютерная графика и многих других, где важно анализировать взаимодействие векторных величин в пространстве.