Question

Пройдя разность потенциалов 2 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 15 мкТл и движется по дуге окружности радиусом 1 м (в плоскости, перпендикулярно линиям магнитной индукции). Рассчитать заряд электрона

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Работа электрического поля:

A = e·Δφ

Кинетическая энергия:

Eк = m·V²/2

Приравняем:

e·Δφ = m·V²/2

Заряд электрона:

e = m·V²/(2·Δφ)

Радиус Лармора:

R = m·V/(e·B)

Скорость:

V = R·e·B / m

Имеем:

e = m·R²·e²·B²/(2·Δφ·m²)

1 = R²·e·B²/(2·Δφ·m)

e = 2·Δφ·m / (R·B)²

e = 2·2000·9,1·10⁻³¹ / (1·15·10⁻⁶)² ≈ 1,6·10⁻¹⁹ Кл

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать силу Лоренца, которая действует на заряженную частицу (в данном случае, на электрон) движущуюся в магнитном поле:

$F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\theta)$

Где:

• $F$ - сила Лоренца
• $q$ - заряд частицы (заряд электрона)
• $v$ - скорость частицы
• $B$ - индукция магнитного поля
• $\theta$ - угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции

Для электрона заряд $q$ равен $-1.602 \times 10^{-19}$ Кл (колеблющийся знак минус означает, что заряд электрона отрицательный).

Скорость $v$ электрона можно рассчитать из кинематических уравнений для равномерного движения по окружности:

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$

Где:

• $r$ - радиус окружности
• $T$ - период обращения частицы по окружности

Так как электрон движется по дуге окружности, его период обращения будет равен времени, за которое он пройдет эту дугу. Длина дуги $s$ можно найти, умножив длину всей окружности на отношение угла дуги $\theta$ к полному углу $2\pi$:

$s = r \cdot \theta$

Тогда период обращения $T$ будет:

$T = \frac{s}{v} = \frac{r \cdot \theta}{v}$

Подставляем $v$ из второго уравнения в выражение для силы Лоренца:

$F = -q \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \cdot B \cdot \sin(\theta)$

Теперь, мы знаем, что электрон движется равномерно по окружности, значит, его скорость постоянна, а значит, и период обращения постоянен. Величина $\theta$ не меняется в процессе движения, так как электрон движется по дуге в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции $B$. Следовательно, сила Лоренца также будет постоянной.

Сравнив это с уравнением движения под действием постоянной силы $F = m \cdot a$, где $m$ - масса частицы, $a$ - ускорение, мы можем выразить заряд $q$:

$q = \frac{m \cdot a}{- \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

Теперь, у нас есть две ключевые величины - масса электрона $m$ и ускорение $a$. Ускорение можно выразить через радиус $r$ и период обращения $T$ в равномерном круговом движении:

$a = \frac{v^2}{r} = \frac{\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\right)^2}{r}$

Подставим это значение обратно в уравнение для заряда $q$:

$q = \frac{m \cdot \frac{\left(\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\right)^2}{r}}{- \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

Сократим общие множители и преобразуем выражение:

$q = \frac{- m \cdot (2 \cdot \pi)^2}{T^2 \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

Теперь, подставляем значение периода $T = \frac{r \cdot \theta}{v}$ и объединим множители:

$q = \frac{- m \cdot (2 \cdot \pi)^2}{\frac{r^2 \cdot \theta^2}{v^2} \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

$q = \frac{- m \cdot (2 \cdot \pi)^2 \cdot v^2}{r^2 \cdot \theta^2 \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

$q = \frac{- 4 \cdot \pi^2 \cdot m \cdot v^2}{r^2 \cdot \theta \cdot B \cdot \sin(\theta)}$

Теперь, мы можем подставить числовые значения всех известных параметров: $m$ (масса электрона), $v$