Question

Найдите, во сколько раз уменьшится средняя квадратичная скорость молекул идеального двухатомного газа при адиабатическом увеличении его объема в 2 раза.

Answer 1

В 5разз

Потому что молекулы больше спирта

Answer 2

Средняя квадратичная скорость молекул идеального двухатомного газа связана с его температурой и массой молекулы через закон распределения Больцмана:

$v = \sqrt{\frac{{3kT}}{m}}$

где:

• $v$ - средняя квадратичная скорость молекул,
• $k$ - постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \times 10^{-23}\, \text{Дж/К}$),
• $T$ - абсолютная температура (в Кельвинах),
• $m$ - масса молекулы газа.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется следующее соотношение:

$PV^\gamma = \text{const}$

где:

• $P$ - давление,
• $V$ - объем,
• $\gamma$ - показатель адиабаты (отношение специфических теплоемкостей $C_p$ и $C_v$).

Для двухатомного идеального газа, такого как молекула $N_2$ (азот), $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5}$.

Пусть начальное состояние газа обозначается как 1, а конечное состояние после адиабатического увеличения объема в 2 раза - как 2. Мы можем записать соотношение для начального и конечного состояний:

$P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma$

Так как у нас есть адиабатический процесс, отношение температур также сохраняется:

$\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}$

Теперь мы можем использовать это соотношение для вычисления отношения средних квадратичных скоростей $v_1$ и $v_2$ в начальном и конечном состояниях. Подставляя выражение для средней квадратичной скорости в формулу $T = \frac{m v^2}{3k}$, получаем:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{m v_1^2}{3k}}{\frac{m v_2^2}{3k}}$

Сокращаем общие множители и получаем:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$

Теперь мы можем выразить $v_2^2$ через $v_1^2$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}$

Теперь подставим значение $\gamma$ для двухатомного идеального газа ($\gamma = \frac{7}{5}$):

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\frac{7}{5}-1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\frac{2}{5}}$