Question

У скільки разів і як необхідно змінити радіус колової орбіти штучного супутника Землі, щоб частота його обертання зменшилась у 8 разів, а лінійна швидкість руху по орбіті зменшилась у 2 рази?

Answer 1

M*a=m*w^2*r=F=G*m*M/r^2
m*w^2*r=G*m*M/r^2
w^2=G*M/r^3
r = (G*M/w^2) ^ 1/3
w1=w/8
r1 = (G*M/w1^2) ^ 1/3= (G*M/(w/8)^2) ^ 1/3 = 8^(2/3) * (G*M/w^2) ^ (1/3) = 4 * r
чтобы угловая скорость уменьшилась в 8 раз расстояние между центрами спутника и земли надо увеличить в 4 раза

m*a=m*v^2/r=F=G*m*M/r^2
m*v^2/r=G*m*M/r^2
v^2=G*M/r
r = (G*M/v^2)
v1=v/2
r1 = (G*M/v1^2) = (G*M/(v/2)^2) = 2^2 * (G*M/v^2) = 4 * r
чтобы линейная скорость уменьшилась в 2 раз расстояние между центрами спутника и земли надо увеличить в 4 раза

Answer 2

Для зміни частоти обертання і лінійної швидкості руху штучного супутника на орбіті, нам потрібно врахувати наступні факти:

1. Частота обертання (f) супутника на орбіті залежить від радіуса орбіти (R) та гравітаційної константи (G) (яка практично не змінюється), і вона обернено пропорційна квадрату радіуса: f ∝ 1/R².

2. Лінійна швидкість (v) супутника на орбіті залежить також від радіуса орбіти і константи G: v ∝ √(G * M / R), де M - маса Землі (також практично стала).

Вам потрібно змінити радіус орбіти так, щоб частота обертання зменшилась у 8 разів і лінійна швидкість зменшилась у 2 рази. Давайте позначимо початковий радіус орбіти як R₀, ініціальну частоту обертання як f₀ і ініціальну лінійну швидкість як v₀.

1. Зменшення частоти обертання в 8 разів: f₁ = f₀ / 8

2. Зменшення лінійної швидкості в 2 рази: v₁ = v₀ / 2

Тепер, використовуючи вираз для частоти обертання та лінійної швидкості:

f₁ ∝ 1/R₁² v₁ ∝ √(G * M / R₁)

Ми хочемо знайти новий радіус орбіти R₁, для якого виконуються ці два вирази. Спершу розглянемо частоту обертання:

1/R₁² = f₀ / 8

Зараз розв'яжемо це рівняння для R₁:

R₁ = √(R₀² * (8 / f₀))

Тепер розглянемо лінійну швидкість:

√(G * M / R₁) = v₀ / 2

Також розв'яжемо це рівняння для R₁:

R₁ = (G * M / (v₀² / 4))

Тепер ми маємо два вирази для R₁:

1. R₁ = √(R₀² * (8 / f₀))
2. R₁ = (G * M / (v₀² / 4))

Отже, вам потрібно знайти значення R₁ за допомогою обох цих виразів і перевірити, чи вони дають однаковий результат. Якщо так, то ви знайдете необхідний радіус орбіти для зміни частоти обертання і лінійної швидкості заданим чином.