Question

Найти значение производной от функции f(x) = tg(x^2)+sin(tgx) в точке с координатой x = 1.

Answer 1

Ответ:

$y=tg(x^2)+sin(tgx)\ \ ,\ \ \ x_0=1\\\\y'=\dfrac{2x}{cos^2(x^2)}+cos(tgx)\cdot \dfrac{1}{cos^2x}\\\\\\y'(1)=\dfrac{2}{cos^21}+\dfrac{cos(tg1)}{cos^21}=\dfrac{2+cos(tg1)}{cos^21}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = tg(x^2) + sin(tgx) в точке x = 1, мы будем использовать правила дифференцирования тригонометрических и элементарных функций.

Сначала найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

1. Производная первого слагаемого tg(x^2): f₁(x) = tg(x^2) f₁'(x) = d/dx(tg(x^2))

   Мы можем воспользоваться цепным правилом (chain rule) для производной композиции функций: f₁'(x) = d/dx(tg(u)) * du/dx, где u = x^2

   f₁'(x) = (sec^2(u)) * (2x) f₁'(x) = 2x * sec^2(x^2)

2. Производная второго слагаемого sin(tgx): f₂(x) = sin(tgx) f₂'(x) = d/dx(sin(tgx))

   Мы можем также воспользоваться цепным правилом: f₂'(x) = d/dx(sin(u)) * du/dx, где u = tgx

   f₂'(x) = cos(u) * (1/cos^2(x)) f₂'(x) = cos(tgx) / cos^2(x)

Теперь, чтобы найти производную суммы f(x) = tg(x^2) + sin(tgx), сложим производные слагаемых:

f'(x) = f₁'(x) + f₂'(x) f'(x) = 2x * sec^2(x^2) + cos(tgx) / cos^2(x)

Теперь мы можем вычислить значение производной в точке x = 1:

f'(1) = 2 * 1 * sec^2(1^2) + cos(tg(1)) / cos^2(1)

Теперь найдем значения sec^2(1) и cos(tg(1)):

sec^2(1) ≈ 1.85081571768 (примечание: sec^2(x) = 1/cos^2(x)) cos(tg(1)) ≈ 0.54030230586 (примечание: tg(1) ≈ 1, и cos(1) ≈ 0.54030230586)

Теперь подставим эти значения в производную:

f'(1) ≈ 2 * 1 * 1.85081571768 + 0.54030230586 / 0.54030230586^2 f'(1) ≈ 3.70163143536 + 0.54030230586 / 0.292642917168 f'(1) ≈ 3.70163143536 + 1.84754040881

Итак, значение производной функции f(x) = tg(x^2) + sin(tgx) в точке x = 1 приближенно равно:

f'(1) ≈ 5.54917184417